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《概率论与数理统计习题详解 周概容 习题3解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题三多元随机变量的分布3.1假设随机变量U在区间[−]2,2服从均匀分布，随机变量⎧−,1若U≤−,1⎧−,1若U≤,1X=⎨Y=⎨⎩,1若U>−1；⎩,1若U>1．求X和Y的联合概率分布．解随机向量(X,Y)有(−,1−1),(−1,1),,1(−1),)1,1(等4个可能值，1P{}X=−,1Y=−1=P{}U≤−,1U≤1=P{U≤−1}=，4P{}X=−,1Y=1=P{}U≤−,1U>1=P(φ)=0，1P{}X=,1Y=−1=P{}U>−,1U≤1=P{−1−,1U>1=P{U>1}=．4于是X和Y的联合概率分
2、布为⎛(−,1−)1(−)1,1,1(−)1)1,1(⎞⎜⎟(X,Y)~111．⎜0⎟⎝424⎠3.2假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以X和Y分别表示先后抽到不合格品的件数（0或1），试求，(1)X和Y的联合分布；(2)由X和Y的联合分布求X和Y的概率分布．解(1)按古典型概率公式分别计算(X,Y)取0,0(),1,0(),0,1(),)1,1(为值的概率，得⎛)0,0()1,0()0,1()1,1(⎞⎜⎟(X,Y)~16×1516×44×164×3⎜⎟⎝20×1920×1920×1920×19⎠．⎛)0,0()1,0()0,1()1,
3、1(⎞⎜⎟=6016163．⎜⎟⎝95959595⎠(2)X和Y都有0和1两个可能值，由全概率公式，有4P{X=}0=P{X=,0Y=}0+P{X=,0Y=}1=；54P{Y=}0=P{X=,0Y=}0+P{X=,1Y=}0=．5由此得X和Y的概率分布：⎛01⎞⎛01⎞X~⎜41⎟，Y~⎜41⎟．⎜⎟⎜⎟⎝55⎠⎝55⎠3.3假设射手甲、乙的命中率相应为0.6和0.7．二人各独立地进行一次射击，分别以X和Y表示他们命中的次数（0或1），求X和Y的联合分布函数及其边缘分布函数．解首先求X和的联合分布．引进事件YA={甲命中}，B={乙命中}．由条件知事件A和B独立，P(A)
4、=,6.0P(B)=7.0；显然A={X=1}，B={Y=1}；(X,Y)有4个可能值：—习题解答●3.1—0,0(),1,0(),0,1(),)1,1(，因此P{X=,0Y=}0=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12；P{X=,0Y=}1=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.7=0.28；P{X=,1Y=}0=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18；P{X=,1Y=}1=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42；．于是得X和Y的联合概率分布⎛)0,0()1,0()0,1()1,1(⎞(X,Y)~⎜⎜⎟⎟．⎝.012.
5、028.018.042⎠现在求X和Y的联合分布函数F(x,y)．显然，若x<0或y<0，则F(x,y)=0；对于0≤x<1，，0≤y<1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{X=,0Y=0}=.012；对于x≥1，0≤y<1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{}X=,0Y=0+P{}X=,1Y=0=.030；对于0≤x<1，，y≥1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{}X=,0Y=0+P{}X=,0Y=1=.040；对于x≥1，y≥1，显然F(x,y)=1．于是，X和Y的联合分布函数为⎧0，若x<0或y<0，⎪.012，若0≤x<1，0≤y<1，⎪⎪F(x,y)
6、=⎨.030，若x≥1，0≤y<1，⎪.040，若0≤x<1，y≥1，⎪⎪⎩1，若x≥1，y≥1．现在求X和Y的联合分布函数的边缘分布函数．可以通过两个途径求边缘分布函数：一是，首先由X和Y的联合分布分别求X和Y的概率分布，然后由概率分布求分布函数；二是，直接由联合分布函数求边缘分布函数．现在我们用后一种方法来求X和Y的分布函数F1(x)和F2(y)．易见，当x<0时，F1(x)=0；当x>1时，F1(x)=1；现在设0≤x≤1，有F(x)=F(x,+∞)=P{X≤x,Y≤+∞}1=P{}X≤x,Y≤1=F(x)1,=.4.0于是，X的分布函数为⎧0，若x<,0⎪F1(x
7、)=⎨4.0，若0≤x≤,1⎪⎩1，若x>1．类似可得Y的分布函数—习题解答●3.2—⎧0，若x<,0⎪F2(y)=⎨3.0，若0≤x≤,1⎪⎩1，若x>1．3.4设随机变量X和Y各只有－1,0,1等三个可能值，且同分布并满足条件：1P{}X=−1=P{}X=1=．4试求X和Y的联合分布，假设满足条件，(1)P{XY=0}=1；(2)P{X+Y=0}=1．解(1)下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件P{XY≠0}=0得表心中的4个黑体“0”．从而不难求出表中的其他概率．X－101ΣY－104/101/404/104/11/
