概率论与数理统计习题3详解

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1、第三章习题详解:3.1设二维随机向量(X』)的分布函数为：F(x.y)=1_27_2乍+2一1)；0,x>0,y>0,其他求P{l

2、以(X,K)的可能取值为(2,2),(3,1)C2C23且P(X=29Y=l)=0,P(x=29Y=2)=^-^=-=0,6C；5C'C】2p(x=3,y=l)=-^-=1=0.4,P(X=3,Y=2)=05故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3将一枚均匀的硬币抛掷3次，用X表示在3次中出现正面的次数，用丫表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解:因为Y=

3、X—(3—X)

4、=

5、2X—3

6、,又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)

7、且P(X=0,y=3)=4)3=

8、,P(X=l,Y=l)=C；4)14)2=j2o22op(x=2,丫二1)=C：(丄)2(丄)1=3,P(X=3,Y=3)=(丄)3=-322828故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为：/(x,y)=a(6-x-y),0

9、Jf{x,y)dxdy=££a(6-x-y)dxdy2a[(5一x)dx=9ci由/(x,y^dxdy=1,得9a=l,故a=/9.J—8J—8⑵P(X<0.5,y<1.5)=£551(6-X-y)dxdy1f0.51.L51f0.539=—I[(6—兀)y——y_]dx=—[—(6-x)——]dx9J()209Jo28⑶P{(X,Y)wD}=Jj/(x,y)dxdy=£dx^A^(6-x-y)JyD歹比=丄『(1]_]2兀_兀2皿=空018J。273.5设二维随机向量（X,/）的概率密度函数为：/（兀y）=0.兀>0,y>0,其他（1）求分

10、布函数F（x,y）;(2)求P{Y0,y>0,F(x,刃二匚J]/(仏v)dudv=£'£2e-(2u+v)dudv=2[e~2l,du^evdv=(1-e~2A)(l-e~y)其他情形,由于/(x,y)=0,显然有F(x,y)=0o综合起来，有F(x,y)=（1-严）（1-厂）,0,x>(Xy>0,其他(2)求P{Y

11、）的距离不超过d的概率.解：p(x2+r2<6/2)乩*7严HW；話于2龙丄.71ll"T77crl+tz23.7设二维随机向量（X,Y）的概率分布如下表所示，求X和Y的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因为P(X=1)=O」5+0.25+0.35=0.75p(X=3)=0.05+0.18+0.02=0.25所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为p(y=0)=0.15+0.05=0.20p(y=2)=0.25+0」8=0.43P(Y=5)=0.35+0.02=0.37所以，丫的边缘分布为Y

12、025P0.200.430.373.8设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为3.0

13、(X,y)=4.8y（2—兀），0<^<1,0<