概率论与数理统计(海南大学)习题三详解

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1、习题三1、已知二维随机变量(,)XY的分布函数为xyx()y1,eeexy0,0,Fxy(,)0,其他，求关于X和关于Y的边缘分布函数Fx()和Fy().XY解：（1）ìïlimé10--+eee---xyx()+yù,xy>>,0,ïïêúëûFx()=+Fx(,¥)lim(,)=Fxy=íy+¥Xy+¥ïïïî0,其他ìï10->ex-x,,ï=íïïî0,其他（2）ïìlimé10--+eee---xyx()+yù,xy>>,0,ïïêúëûFyF()=+(¥=,)lim(,)yFxy=íx+¥Yx+¥ïïïî0,.其他

2、ìï10->ey-y,,ï=íïïî0,其他2将两封信随机地放入编号为1，2，3，4的4个邮筒内.以随机变量X（i1,2,3,4）i表示第i个邮筒内信的数目.求(,)XX的分布律.1241解：Px{}====00,,x12164221´Px{}12====01,,x16441Px{}12====10,,x1641C12Px{}12====11,,x444´11Px{}12=======02,,,xPx{}1220x4416´Px{}12=========12,,,xPx{}1221xPx{}12220x.1113、设事件A，B满足PA()、PBA(

3、)、

4、PAB(

5、).令4221,A发生,1,B发生,XY0,A不发生，0,B不发生，求(1)(,)XY的分布律;(2)PXY{}.11解：(1)PA()==,(PBA)PAB()=,4211PAB(),(),==PB84PX{}===00,(YPAB)=1-ÈPAB()=-1PAPB()-()+PAB()5=,81PX{}===01,(YPABPBPAB)=-()()=,81PX{}===10,(YPAB)=-PAPAB()()=,81PX{}===11,(YPAB)=,8故(,)XY得分布律为：(2)PXY{}{==PX==+00,,Y}{PX

6、==11Y}513=+=8844、将两个不同的球任意放入编号为1，2，3的三个盒中，假设每球放入各盒都是等可能的.以随机变量X表示空盒的个数、以随机变量Y便是有球盒的最小编号.求（1）(,)XY的分布律；（2）关于X的边缘分布律；(3)关于Y的边缘分布律.解：（1）X的可能的值有1,2；Y的可能的值为1,2,3.由于每个球有3种放法，故样本点总数为9.（2）（3）5、设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能地取值，随机变量Y在1X中等可能地随机取一整数值.（1）求(,)XY的分布律；（2）关于X的边缘分布律；(3)关于Y的边缘分布律.11解：由PX{}=

7、==´11,,Y1=44PX{}=========12,,,YPX{}13YPX{}140Y,111PX{}======´=21,,,YPX{}22Y428PX{}======23,,YPX{}240Y,111PX{}=========´=31,,,,YPX{}32YPX{}33Y4312PX{}===340,,YPX{}=====41,,YPX{}42Y===PX{}43,Y111=PX{}=44,.Y==´=4416故(,)XY的分布律及X，Y各自的边缘分布律为：（1）（2）（3）6、已知随机变量(,)XY的概率密度为kxy,0x1,0y1,fx

8、y(,)0,其他，求（1）常数k；（2）(,)XY的联合分布函数FXY(,).¥¥解：（1）òòfxydxdy(,)=1-¥-¥11=òòdxkxydy100=k4;xy（2）Fxy(,)=òòfstdsdt(,)-¥-¥i）当x<0或y<0时，Fxy(,)=££PXxYy{},=0,xy22ii）当01££x且01££y时，Fxy(,)==òò4stdsdtxy,00x12iii）当01££x且y>1时，Fxy(,)==òò4stdsdtx,001y2iv）当x>1且01££y时，Fxy(,)==òò4stdsdty,00v）当x>1或y>1时

9、，Fxy(,)=1,故(,)XY得分布函数为：ïì00,xy<<或0，ïïïxy22,,01££££x01y,ïïïï2Fxy(,)=£íx,011x£,y>,ïï2ïïyxy,,,>££101ïïïï11,,xy>>1.î7、已知随机变量(,)XY的概率密度为1(6xy),0x2,2y4,fxy(,)80,其他，3求（1）PX{1,3Y};（2）PX{};（3）PXY{4}2解：（1）311PX{}<<=13,(Yòòdy6--xydx)208113éù21x==-êú()6yxxd-yòx=0822êúëû11313=-ò

10、(),ydy=8228ìüïïïï31