概率论与数理统计习题3详解概要.doc

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1、一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为，，所以3.2盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.解：因为X+Y=4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且，，故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的

2、可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且，，故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量的概率密度函数为:(1)确定常数;(2)求(3)求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由，得9a=1，故a=1/9.(2)(3)3.5设二维随机向量的概率密度函数为:(1)求分布函数;(2)求解：(1)求分布函数;当，其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有(2)求3.6向一个无限平面靶射击,设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点)的距离

3、不超过a的概率.解：3.7设二维随机向量的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因为所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为又因为，当时，其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.9设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此；其他情形，显

4、然所以，X的边缘分布密度为同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.10设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c的值.(2)求边缘概率密度.解：(1)因为所以c=6.(2)因为，当时，所以，X的边缘分布密度为又因为，当时，所以，Y的边缘分布密度为3.11求习题3.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为即Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为即Y025P1/518/25

5、2/25(3)当Y=0时，X的条件分布为即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为即X13P0.9460.0543.12设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0

6、14问习题3.7中的X与Y是否相互独立？解:由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.370.75,,而,显然,从而X与Y不相互独立.3.15设二维随机向量的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02问取何值时,X与Y相互独立?解：因为，要X和Y相互独立，则即，得由，得即，得3.16问习题3.8和习题3.9中的X与Y是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量的概率密度函数为X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度

7、为，显然有，X与Y相互独立.由习题3.9,维随机向量的概率密度函数为,X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为,显然有，X与Y不独立.3.17设二维随机向量的概率密度函数为,问X与Y是否相互独立?解：因为对于x>0,y>0，都有,所以，X与Y是相互独立的.3.18设二维随机向量的分布函数为讨论的独立性.解：因为由于所以，X与Y是相互独立的。3.19设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求X+Y的概率密度函数.解：由于X与Y均服从区间(0,1)上的均匀分布，故X与Y的边缘密度函数分别为：，记,

8、由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有=0.综合起来，有此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当时，积分区域要分成两