2、变量X的阶矩kαk=EX(k>)0存在，X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量，试证明，1nkP−lim∑Xi=αk．n→∞ni=1kkkk证明由于X1,X2,Λ,Xn独立同分布，可见X1,X2,Λ,Xn也独立同分布，且EX(k>)0存在．因此，根据辛钦大数定律，有1nkkP−lim∑Xi=EX=αk．n→∞ni=125.3假设随机变量列X1X,2,ΛX,n,Λ两两独立并且同分布，EXi=μ，DXi=σ存在，证明X1,X2,Λ,Xn的算术平均值Xn依概率收敛于（各个变量共同的）数学期望μ：n1P−lim∑Xi=μ．n→∞ni=1证明易见⎛1n⎞1nEXn=E⎜⎜∑Xi⎟
3、⎟=∑EXi=μ，⎝ni=1⎠ni=1⎛n⎞n211σDXn=D⎜⎜∑Xi⎟⎟=2∑DXi=．⎝ni=1⎠ni=1n由切贝绍夫（切比雪夫）不等式可见，对于任意ε>0，有2{}DXnσ()P
4、Xn−μ
5、≥ε≤=→0n→∞．22εnε5.4设随机变量X在区间(−)2,1上服从均匀分布，X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量，试证明，1n2P−lim∑Xi=1．n→∞ni=1—习题解答●5.1—证明由X1,X2,Λ,Xn独立同在区间(−)2,1上服从均匀分布，可见数学期望存在：22222EXi=2/1，DXi=/912；从而X1,X2,Λ,Xn独立同分布，且EXi=DXi+(
6、EXi)=1存在．因此，根据辛钦大数定律，有1n22P−lim∑Xi=EX=1．n→∞ni=15.5假设天平无系统误差．将一质量为10g的物品重复进行称量，证明当称量次数无限增大时，称量结果的算术平均值依概率收敛于10g．解因为各次称量的结果Xi(i=,2,1Λ,n,Λ)可以视为独立同分布随机变量，其数学期望都等于EXi=10(gi=,2,1Λ,n,Λ)，所以根据辛钦大数定律，当n→∞时，n次称量结果的算术平均值Xn依概率收敛于其共同的数学期望10g．5.6设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量，试证明，n122P−lim∑Xi=λ+
7、λ．n→∞nk=1222证明由于X1,X2,Λ,Xn独立同泊松分布，可见X1,X2,Λ,Xn也独立同分布，而且数学期望存在：222EXi=DXi+(EXi)=λ+λ．因此，根据辛钦大数定律，有n122P−lim∑Xk=λ+λ．n→∞nk=15.7设随机变量X服从参数为(m,p)的二项分布，X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量，求极限n12P−lim∑Xi．n→∞ni=1222解由于X1,X2,Λ,Xn独立同服从参数为(m,p)的二项分布，可见X1,X2,Λ,Xn也独立同二项分布，而且数学期望存在：222EXi=(EXi)+DXi=(mp)+mp1(−p)，因此，根据辛
8、钦大数定律，有n122P−lim∑Xi=(mp)+mp1(−p)．n→∞ni=15.8假设随机变量X1,X2,Λ,Xn独立同服从参数为2的指数分布，证明当n充分大时，22222Sn=ΛX1+X2++Xn近似服从正态分布N(μn,σn)，并通过前4阶矩表示μn和σn．证明参数为2的指数分布的概率密度为—习题解答●5.2—⎧−2x⎪e2，若x>0，11f(x)=⎨EXi=,DXi=；⎪⎩0，若x>;02422EXi=DXi+(EXi)=2/1，而由分部积分法可见∞44−2x3EXi=2∫xedx=．202422从而DXi=EXI−(EXi)=54；ESn=n,2/DSn=5n4/
9、．由于X1,X2,Λ,Xn独立同分布，且数学期望和方差存在，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，2且μn=ESn=n2，σn=DSn=5n4．5.9一包装工平均三分钟完成一件包装．假设实际完成一件包装所用时间服从指数分布，试利用中心极限定理，求完成100件包装的总时间需要5h到6h的概率的近似值．解设Xi是完成第i件包装所用时间．由条件知，Xi服从指数分布，EX=3min，从而分布参数λ=3/1，DX=9．记T=X1+X2+Λ+X100为完成100件包装的总时间，则T近似
