3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系

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1、圆周角和圆心角的关系（第1课时）教学目标1．掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明．2.经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法.3.通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．[来源:Z。xx。k.Com]教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．[来源:Zxxk.Com]教学方法指导探索法、讲授法.教学过程Ⅰ．承前启后，引入新课1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等.当角的顶点在圆

2、心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．新课●圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念.）图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.1．强调两个要点：(1)角的顶点在圆上；(2)角的两边都与圆相交2．练一练判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．●研究圆周角和圆心角的关系．一、动手测一测在下图中，所对的圆周角有几个？所对的圆心角和所对的圆周角

3、之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？∠AOC＝?∠AB1C=?，∠AB2C=?∠AB3C=?易得：∠ABC＝∠AOC二、动脑证一证1、当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.解：∠ABC＝∠AOC．理由是：∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．[来源:学科网ZXXK]∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝∠AOC．2、如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去

4、解决吗？(学生互相交流、讨论)★如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．（体现“分”的数学思想）由1的结论可知：∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．★在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出．（体现“补”的数学思想）由1的结论可知：∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．综上所述，我们可以得到

5、：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（条件是什么？结论是什么？）★圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.●定理的应用一、例题.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC．又　∵∠AOB＝2∠BOC,∴2∠ACB＝2×2∠BAC,∴∠ACB＝2∠BAC.[来源:Zxxk.Com]二、练一练1、判断题（1）顶点在圆上的角叫圆周角.（）（2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（）2、填空题（1）如下图，∠ACB＝＿＿＿＿＿，∠AO

6、B=＿＿＿＿＿.　（2）如右图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=_______.（3）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是_____________.三、中考链接1．（重庆）如图，若∠ABC=70°则∠AOC的度数等于（）A.140°B.130°　　C.120°D.110°2.（潼南）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（）A．15°B.30°C.45°D．60°3.（德化）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，求圆周角∠B

7、AC的度数？★　解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.Ⅲ．课堂小结一、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角:顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.★　圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、在学习圆周角定理的证明时，渗透了“特殊到一般”和“分类讨论”的思想方法.Ⅳ．知识延伸一、圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角.如下图中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧和的度数有什么关系？[

8、来源:学科网ZXXK]1、你的结论：________；2、证明你的结论．解：1、圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半．2、证明：连结BC．∵∠DCB