精品解析：2019年福建省中考数学二模试卷（解析版）

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福建省2019年中考数学二模试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列各数中，比﹣2小的数是(　　)A.2B.0C.﹣1D.﹣3【答案】D【解析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．解：比-2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数；分析选项可得，只有D符合．故选D．“点睛”本题考查实数大小的比较，是基础性的题目．2.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为(　　)A.55×103B.5.5×104C.5.5×105D.0.55×105【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，故选B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．故选B．试题解析：考点：简单几何体的三视图．【此处有视频，请去附件查看】4.如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于(　　)A.40°B.55°C.70°D.110°【答案】C【解析】试题解析：∵m∥n，∴∵AB=BC，∴故选C.点睛：平行线的性质：两直线平行，内错角相等. 5.已知三角形三边长分别为5、a、9，则数a可能是(　　)A.4B.6C.14D.15【答案】B【解析】【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出a的取值范围，再根据取值范围选择．详解】∵5+9＝14，9﹣5＝4，∴4＜x＜14．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．6.计算＝(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：分子根据合并同类项计算，分母根据同底数幂的乘法计算.详解：原式=.故选C.点睛：本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法计算，合并同类项的方法是系数相加，字母和字母的指数不变；同底数的幂相乘，底数不变，把指数相加.7.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（　　） A.（sinα，sinα）B.（cosα，cosα）C.（cosα，sinα）D.（sinα，cosα）【答案】C【解析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【此处有视频，请去附件查看】8.关于x的一元二次方程mx2﹣(m+1)x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是(　　)A.﹣1B.1C.0D.±1【答案】A【解析】分析：把方程mx2﹣（m+1）x+1=0的左边用式子相乘法分解因式，再结合m≠0和m为整数求出m的值.详解：∵mx2﹣（m+1）x+1=0，∴(mx-1)(x-1)=0,∴x1=1,x2=，又∵方程有两个不等的整数根，m为整数， ∴m=-1.故选A.点睛：本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握十字相乘法是解答本题的关键.9.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（　　）A.甲超市利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．10.如图，已知A(3，6)、B(0，n)(0＜n≤6)，作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P(，0)，则PM的最小值为(　　) A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N,易得△AHB∽△CEA从而，设BH＝x，则AE＝2x，可得PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+即可求出PM最小值【详解】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，∴，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x， ∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．【点睛】此题主要考查平面内两点之间最小值，涉及到相似三角形以及二次函数的性质二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11.计算：|﹣3|+＝_____．【答案】【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数幂的法则计算即可.【详解】解：原式=3+2=5.故答案为：5.【点睛】本题考查绝对值，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的法则.12.甲、乙袋中各装有2个相同的小球，分别标有数字1、2和2、3．现从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是_____．【答案】【解析】【分析】 直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．【详解】如图所示：，一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：．故答案为：．点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比13.如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝_____．【答案】2【解析】【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出，再结合AC＝3即可求出DC的长度．【详解】∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，∴． 又∵AC＝3，∴DC＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键．14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则它的半径为_____．【答案】6【解析】【分析】根据弧长的公式：l＝进行计算即可．【详解】由扇形的弧长公式l＝，得4π＝，解得：r＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了扇形的弧长的计算，掌握扇形的弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．15.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．若求此人第六天走的路程为多少里．设此人第六天走的路程为x里，依题意，可列方程为_____．【答案】;【解析】【分析】设第一天走了x里,则第二天走了里,第三天走了里…第六天走了里,根据总路程为378里列出方程可得答案. 【详解】解：设第一天走了x里,则第二天走了里,第三天走了里…第六天走了里,依题意得:，故答案：.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程.16.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P(x1，m)，Q(x2，m)(x1＜x2)是此抛物线上的两点．若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，则m的取值范围是_____．【答案】m≥16【解析】【分析】根据题意得出b＝a2，然后解x2﹣2ax+a2＝m可得出PQ＝2，由x1、x2的范围可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵顶点在x轴上，，∴b＝a2．∴x2﹣2ax+a2＝0，解得x1＝a﹣，x1＝a+∴PQ＝2又x1≤c﹣1，x1≥c+7∴2≥(c+7)﹣(c﹣1)，∴m≥16．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：通过解一元二次方程求出x1、x2的值．三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17.求不等式组的整数解．【答案】不等式组的解集为﹣4≤x＜1，整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出整数解．详解】，解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≥﹣4，在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图∴原不等式组的解集为﹣4≤x＜1，则原不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式组的解集是解本题的关键．18.如图，点C，E，F，B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．【答案】见解析.【解析】试题分析：根据平行线的性质得出∠B=∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF，从而得出AB=CD．试题解析：证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质证出∠B=∠C．19.化简：.【答案】.【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】原式＝．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接，求的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）45°．【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21.如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．(1)线段DC＝　　；(2)求线段DB的长度．【答案】（1）4；（2）BD=【解析】试题分析：（1）证明是等边三角形，据此求解； （2）作于点，首先在中利用三角函数求得和的长，然后在中利用勾股定理求解．试题解析：（1）是等边三角形，故答案是：4；（2）作于点，∵是等边三角形，又∴中，∴中，22.根据某小区书法兴趣小组成员的年龄情况，绘制如下不完整的统计图：(1)该兴趣小组成员年龄的平均数是　　岁，众数是　　岁；(2)平均数能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征吗？说明你的理由． 【答案】(1)14、9；(2)见解析.【解析】【分析】（1）先求出被调查的总人数，再求出7岁和9岁的人数，继而根据众数和平均数的定义计算可得；（2）根据平均数容易受极端值影响求解可得．【详解】(1)∵被调查的总人数为2÷20%＝10(人)，则7岁的有10×20%＝2人，9岁的有10﹣(2+2+1+1)＝4(人)，所以该兴趣小组成员年龄的平均数是＝14(岁)，众数为9岁；故答案为：14、9．(2)平均数不能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征，因为该兴趣小组成员年龄的平均数受极端数据64的影响．【点睛】本题主要考查众数和平均数，解题的关键是熟练掌握众数和平均数的定义．23.某公司将农副产品运往市场销售，记汽车行驶时间为t(h)，平均速度为v(km/h)(汽车行驶速度不超过100km/h)，v随t的变化而变化．t与v的一组对应值如表：t(h)4v(km/h)9590858075(1)写出一个符合表格中数据，v(km/h)关于t(h)的函数解析式；(2)汽车上午7：30出发，能否在上午10：00之前到达市场？请说明理由．【答案】(1)v＝；(2)上午10：00前汽车不能到达市场．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可以写出v（km/h）关于t（h）的函数解析式；（2）将t＝2.5代入（1）中的函数解析式，求出v的值，然后与100比较大小即可解答本题．【详解】(1)由表格中的数据可得， vt＝300，则v＝，即v(km/h)关于t(h)的函数解析式是v＝；(2)上午10：00前汽车不能到达市场，理由：∵当t＝2.5时，v＝＝120＞100，∴上午10：00前汽车不能到达市场．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．24.如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在弧AB上，且F是弧BC的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．(1)求证：AC∥EF；(2)如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】【分析】（1）由F为弧BC中点，且EF为圆的直径，利用垂径定理的逆定理得到EF与BC垂直，再由直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，即可得证；（2）由CN与FB平行，以及等边对等角得到内错角相等，进而得到AE与FB平行，可得出AE与CN平行，得到四边形AENC为平行四边形，得到AC＝EN＝2，利用垂径定理的逆定理得到BC与EF垂直，由AB＝6，得到半径为3，利用勾股定理求出BD的长，再证明三角形OFH与三角形OBD全等，即可求出FH 的长．【详解】(1)∵点F是弧BC的中点，EF是直径，∴EF⊥BC,∴∠BDE=90°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ACB＝∠BDE，∴AC∥EF；(2)如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是平行四边形，∴AC＝EN＝2，∵点F是弧BC的中点，EF是直径，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵DC＝DB，AO=BO∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝=2，又∵M为线段CF的中点，CD=BD∴MD是△BCF的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB,∠OBF＝∠DHO，又∵OF=OB∴∠OFB=∠OBF ∴∠ODH＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH公共角，∠ODB＝∠FHO=90°∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．【点睛】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．25.抛物线y＝ax2﹣2x+b的顶点为A(m，n)，过点A的直线y＝kx﹣1与抛物线的另一交点为B(p，q)．(1)当a＝b＝1时，求k的值；(2)若b＝m，当﹣3≤a＜1时，求p的取值范围．【答案】(1)1；(2)p≤或p＞2.【解析】【分析】（1）将a＝b＝1代入抛物线的解析式确定直线经过的点A的坐标，从而确定k的值；（2）表示出直线的解析式：y＝ax﹣1，然后根据当﹣3≤a＜0和当0＜a＜1时利用反比例函数的性质确定P的取值范围即可．【详解】(1)当a＝b＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点为A(1，0)，直线y＝kx﹣1过点A(1，0)，k＝1(2)∵y＝ax2﹣2x+b的顶点为A(m，n)，∴m＝∵b＝m，∴抛物线y＝ax2﹣2x+∴顶点为(，0)，∵直线y＝kx﹣1过顶点为(，0)，∴﹣1＝0，k＝a．从而直线的解析式为：y＝ax﹣1 ax2﹣2x+＝ax﹣1x1＝，x2＝1+．∵B与A是不同的两点∴p＝1+．对于﹣3≤a＜1，①当﹣3≤a＜0时，利用反比例函数性质得：②当0＜a＜1时，利用反比例函数性质得：＞1，p＞2综上所述，p≤或p＞2.【点睛】本题考查了二次函数的性质及函数图象上的点的坐标特征的知识，解题的关键是得到p与a的关系，难度不大．