高三数学导数的概念及运算

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1、第十单元导数及其应用10.1导数的概念及运算知识梳理1.函数的平均变化率：代数式称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率.2.导数的概念：函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率叫做函数f(x)在x＝x0处导数，记作f′(x0)或y′

2、x=x0，即3.导数的几何意义：导数f′(x0)表示函数f(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率.4.导函数的概念：函数称为f(x)的导函数(简称导数).5.基本导数公式：（1）；（2）；（3）(sinx)′＝cosx；（4）(cosx)′＝－sinx；（5）；（6）；（7）；（8

3、）.6.导数的四则运算法则：（1）；（2）；（3）.7.复合函数的求导法则：设函数y＝f(u)，u＝g(x)，则拓展延伸1.函数的平均变化率记作，其几何意义是连结点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率，代数式表示函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率.2.利用导数定义求函数f(x)在x＝x0处的导数的基本步骤：第一步，求函数值增量：△y＝f(x0＋△x)－f(x0)；第二步，求平均变化率：第三步，取极限，求导数：3.由导数定义可知:4.函数y＝f(x)在其图象上一点P(x0，y0)处的切线

4、方程是5.当x变化时，f′(x)也是一个函数，其值域是函数f(x)图象上各点的切线的斜率组成的集合.6.函数y＝c，y＝x，y＝x2，，都是幂函数，其导数可利用求得.7.若c为常数，则.8.对于复合函数y＝f(g(x))，f(u)称为外层函数，g(x)称为内层函数，u称为中间变量.求复合函数的导数，要认清中间变量，必要时可以通过换元细化求导过程，但最后要将中间变量代回到原自变量.考点分析考点1导数概念的实际背景问题例1(09·湖北卷)设球的半径R(t)为时间t的函数，若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增

5、长速度与球半径()A.成正比，比例系数为cB.成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为cD.成反比，比例系数为2cD例2某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.【解题要点】由求平均变化率→由导数求瞬时变化率.考点2导数概念与极限问题例3设函数(n∈N*)，求的值.例4求证：若f(x)为偶(奇)函数，则f′(x)为奇(偶)函数.例5已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且，求f′(1).【解题要点】利用导数定义沟通

6、导数与极限的关系→将导数与极限进行相互转化.考点3求给定函数的导数例6求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）.例7已知函数，若存在x0∈R，使得f′(x0)＝0，且f(x0)＝0，求实数a的值.【解题要点】对函数式作适当变形→认清复合函数的内、外层函数→细化求导过程.考点4曲线的切线问题例8已知曲线.（1）求曲线在点P(2，4)处的切线方程;（2）求曲线过点P(2，4)的切线方程.例9已知曲线C：和点M(1，1).（1）证明：过点M可作曲线C的两条切线;（2）过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B

7、，证明：点A，B关于直线y＝x对称.例10(08·宁夏∕海南卷改编)设函数(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.求证：曲线y＝f(x)上任意一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出这个定值.【解题要点】设切点坐标→由切点处的导数确定切线的斜率→由方程思想求未知数的值.