高一数学分段函数与映射

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1、1．当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为．分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数．2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的一个元素，在集合B中有确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集合A到B的映射，记作.分段函数唯一任何f：A→B(2)给定一个集合A到集合B的映射时，a∈A，b∈B如果b和a对应，那么我们把元素b叫做，元素a叫做b的．象原象本节重点：①分段函数概念的理解；②映射定义理解．本节难点

2、：①函数图象的画法；②分段函数的理解应用；③用映射理解函数的定义．(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者．研究分段函数常借助图象进行．(2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合．对应法则f可用文字表述，也可以用符号表示．映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；②任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中

3、的每一个元素都有原象；③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多”但可以“多对一”．[分析]图象法是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．总结评述：函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点．表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点．[答案]B[例2]设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法中正确的是()A．M中每一个元素在N中必有元素与之对应B．N中每一个元素在M中必有元素与之对应C．M中的元素在

4、N中可以有不同元素与之对应D．N中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的[分析]根据映射的定义判断．[解析]在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应，所以B是错误的；又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对一”，因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的，故C错，∴选A.[答案]B[分析]判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的元素和它对应．[解析]在A中，当x＝3时，

5、x－3

6、＝0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负

7、数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义，故选B.[例3]已知集合A＝B＝{(x，y)

8、x、y∈R}，给定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应．(1)求A中元素(－2,3)的象；(2)求B中元素(2，－3)的原象；*(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如(a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不存在，说明理由．[分析]由对应法则，可以根据A中元素与B中元素的对应关系建立起关于x、y的方程组．

9、其中第(3)问即是判断相应的方程组是否有解，何时有解．总结评述：在一个给定的映射f：A→B中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要建立方程组求解．(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原象是()A．2B．3C．4D．5[答案](1)D(2)C[点评](2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n＝3时，结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89，则

10、选A.[分析]这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题．一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出x的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍．[答案]A[例5]上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费．以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费0.12元/分钟．根据信息产业部调整因特网资费的要求，自1999年3月1日起，该地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/时计算，超过60小时部分，以8元/时计算．(1)根据

11、调整后的规