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1、第14卷第2期高等数学研究Vol.14,No.22011年3月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2011多元函数的最值定理及其应用杨胜利(徐州师范大学数学科学学院,江苏徐州221116)摘要给出多元函数最值存在的两个定理,然后通过一些实例说明它们在有界开集或无界闭集上的极值问题中的运用.关键词最值定理;极值;稳定点中图分类号O172.1文献标识码A文章编号10081399(2011)02000804在一些实际的极值问题和条件极值问题中,r>d(P0),我们经常会遇到求函数在有界开集或无界闭集且当d(P)>r时,上的最值.对此,有的数学分析教科
2、书及教辅书f(P)>f(P0).籍,如文[1],提供了以下做法:由引理1知,f在DU(O;r)上必能取得最小值和求出目标函数的稳定点(一般是唯一的)并验证最大值.由于目标函数在此稳定点处取得极大值或极小值,再依经P0DU(O;r),验说明实际问题存在最大值或最小值,最后下结论说故f在DU(O;r)上的最小值当然也是f在D上函数在此唯一的稳定点处取得最大值或最小值.的最小值.n在教学过程中,我们发现这一处理方法会遇到定理2若n元函数f在有界开集DR内或产生如下一些问题:连续,且当动点PD趋于D的边界时,f(P)1)初学者往往缺乏实际经验,对一些实际问题趋于+(或-)
3、,则f在D上必能取得最小是否存在最大值或最小值心存疑虑;或想不到给某值(或最大值).些抽象的问题赋予一个实际背景;证明仅证f(P)趋于+的情形.先证f在2)无条件极值的判定需要较复杂的计算;D上有下界.若不然,存在点列{Pn}D,使得3)初学者容易形成一个错误的印象,以为函数f(Pn)<-n.在唯一稳定点处取得的极大值或极小值就是函数的因D有界,由聚点定理知,{Pn}有收敛子列{Pn},记k最大值或最小值.PnkP0(k),上述问题事实上都与最值的存在性判断有关.那么本文先证明多元函数最值存在的两个定理,然后通P0D.过一些实例说明它们的运用.本文的解法可以有效若P0D
4、,则与f在D内连续相矛盾;若P0D,地解决前面提到的问题.则与定理中的边界条件矛盾.故f在D上有下界.[1]n引理1若n元函数f在有界闭集DR上再证f在D上取得最小值.由前知f在D上有连续,则f在D上有界,且能取得最大值与最小值.下确界n定理1若n元函数f在无界闭集DR上L=inff(P).PD连续,且当动点PD无限远离原点时,f(P)故有点列{Qn}D,使得趋于+(或-),则f在D上必能取得最小f(Qn)L(n).值(或最大值).再由聚点定理知,{Qn}有收敛子列{Qn},记k证明仅证f(P)趋于+的情形.记d(P)QnQ0(k).k表示动点P到坐
5、标原点距离.取定点P0D,对常因为数f(P0),由定理条件可知,存在正数r满足f(Qn)L(k),k所以收稿日期:2010-01-23;修改日期:2011-02-23.作者简介:杨胜利(1967-),男,江苏灌云人,硕士,讲师,主要从事函Q0D,数论研究.Email:yangshengli@xznu.edu.cn.并且由f的连续性得第14卷第2期杨胜利:多元函数的最值定理及其应用9f(Q0)=L,琐),仅多出了S在定义域的边界条件的验证,而这即f在Q0取得下确界.一验证是很容易地.本证法摆脱了对经验的依赖.类[1]这就证明了f在D上取得最小值.似地,运用定理1可解决最小二乘法问
6、题中最小[1]例1证明:圆的所有外切三角形中,以正三值的确定,确定过程也比文[2]中的过程更简便.[3]角形的面积为最小.例2在已知三角形上求一点,使该点到三证明设圆的半径为a,圆的任一外切三角个顶点的距离的平方和最小.形为ABC,三切点处的半径两两相夹的中心解设三角形三个顶点的坐标分别是角分别为,,,其中A(a1,b1),B(a2,b2),C(a3,b3),=2-(+).而M(x,y)为三角形ABC上的动点,原问题为求容易得出ABC的面积表达式为函数32S=atan+tan+tan=f(x,y)=[(x-a22222i)+(y-bi)]i=1a2ta
7、n+tan-tan+.在三角形ABC上的最小值点(根据引理1,f在三222角形上必可取得最小值和最大值).易见S的定义域为求得f的最小值点,不妨考虑f在全平面上D={(,)
8、0<,<,+>}的极值.解方程组是O平面上的有界开集,S在D内连续,且处处存3在偏导数.令fx=2(x-ai)=0,i=11222+3S=asec-sec=0,222fy=2(y-bi)=0,i=11222+S=
