多元函数微分法及其应用第六节多元函数的极值与最值

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1、第六节多元函数的极值与最值多元函数的极值多元函数的最值条件极值1一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故3时,具有极值定理2(充分

2、条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数4例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数5在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;6例2.讨论函数及是否取得极值.解:在(0,0)点邻域内的取值可能为,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(

3、0,0)有显然(0,0)都是它们的驻点,7二多元函数的最值函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点区域内的驻点边界上的最值点特别,在区域函数只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据当区域内部最值存在,且只有唯一的一个驻点P时，则驻点一定是最值点。经判别得8解如图,910例4.解:则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料

4、最省.箱,设水箱长,宽分别为x,ym,则高为11例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面x2412令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.13三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化14方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数

5、可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有15引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.因此函数在条件下的极值点一定是函数的驻点。16推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件17例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问设x,y,z分别表示长、宽、

6、高,18得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.19例7求原点到曲面的最短距离。解问题可以转化为求函数在条件的最小值问题，令得驻点所以最短距离为20例8求原点到曲线短最长距离。的最解问题可以转化为求函数在条件的最小最大值问题，令得驻点21