函数的极值和最值及其应用

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1、函数的极值和最值及其应用摘要：数学应用是数学教学的一个重要的任务。论文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。函数涉及的实际应用有：1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的应用。在极值和最值的理论学习后，如何运用所学识解决实际问题应得到我们的重视。从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活

2、中的必不可少性！关键词：极值；最值；应用。引言：作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我

3、们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！函数极值的相关理论函数极值的定义设函数f(x)在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有f(x)

4、如果附近所有的点，都有f(x)>f()，则f()是函数f(x)的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数f在点处可导，且为f的极值点，则f′()=0.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是f′()=0.极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设f在点连续，在某邻域U0(;δ)内可导.(1）若当x∈(－δ,x0)时f′()≤0，当x∈(,+δ)时，则f在点取得极小值.（2）若当x∈(－δ,x0)时f′()≥0，当x

5、∈(,+δ)时，则f在点x0取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设f在的某邻域U0(;δ)内一阶可导，在x=处二阶可导，且f′()=0,f′′()≠0.（1）若f′′()<0，则f在取得极大值.（2）若f′′()>0，则f在取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设f在的某个邻域内,存在直到n－1阶导函数，在处n阶可导，且,则f(k)()=0(k=1,2,…n),f(n)()≠0.（1）n为偶数时，f在取得极值，当且当f(时取极小值;（2）当n为奇数时，f在处不取极值.f()<0时取极大值，f(n)()>0函数极值的求解方法函数极值的求解方法有很多，根据定义我们可以用导数

6、法进行求解，但当函数较为复杂,导数与驻点及不可导点不好求或函数较为复杂时，我们可以采用以下方法：1、降元法（求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解）。2、转化法（在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解）。3、换元法（换元法是把问题进行转化的一种常用方法）。4、判别式法（若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值）。函数的最值最大值：在f(x)的定义域I上，如果存在∈I，使得对任意x∈I，有：f()

7、>f(x)，则称是f(x)的最大值点，f()称作函数的最大值。最小值：在f(x)的定义域I上，如果存在∈I，使得对任意x∈I，有：f()