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《论文初稿函数的极值和最值及其应用__毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、华北水利水电学院函数的极值和最值及其应用课程名称：高等数学（2）专业班级：测控技术与仪器（89）班成员纟且成：联系方式：156397261502012年5月27口摘要：本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给岀的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。关键词：极值；最值；应用。1.引言函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质，在实际经济活动中也有着重要的应
2、用，对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在牛活实际中的各种应用！2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义设函数/（兀）在如附近有定义,如果对如附近的所有的点,都有/（x）＜/（x0）,则/（如）是函数/（X）的一个极大值。如果附近所有的点,都有/（x）＞/（x0）,则几兀0）是函数几兀）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值O费马定理：可导的极值
3、点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数/在点兀。处可导，且兀为/的极值点，则广（兀）=0・这就是说可导函数在点取极值的必要条件是r（xo）=O.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设/在点X。连续，在某邻域〃°（兀0；力）内可导.(1)若当XG(xo-^,X0)时/Z(XO)0,当X€(XO,X
4、O+J)时，则/在点兀0取得极大值.定理2(极值的第二充分条件)设/在兀0的某邻域t/°(x0;J)内一阶可导,在x=xQ处二阶可导,且广(兀0)=0,.厂(兀0)工0・(1)若/"(兀0)V0,则/在无0取得极大值.(2)若厂(兀0)>0,则/在无。取得极小值.定理3(极值的第三充分条件)设/在兀。的某个邻域内，存在直到川-1阶导函数，在如处〃阶可导，且，则严)(如)=0("1,2,…严)(兀°)工0.(1)当〃为偶数吋，/在X。取得极值，且当/w(x0)<0时取极大值，/w(x0)>0吋取极小值;(2)当/7
5、为奇数时，/在兀。处不取极值.2.3函数极值的求解方法2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。例：已知x+y=2,求函数z=Jy2_2/的极值。解：由题设得尸2-兀，代人厶2一2兀2得z=yj(2-x)2-2x2=yJ-(x+2)2+8v-(x+2)2+8>0—2—2a/25xS—2+2>/2即函数的定义域为：—2—2V2,—24-2>/2当x=-2时，zmax=2V2当x=—2+2血时，zmin=02.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，
6、应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。例：求函数a/F一iox+50+Jx1+25的极小值.解：设y二J(5-打+25+2+25令Z]=5-x+5i,z2=x+5i则：y=
7、zj4-z2>z}+z2=5+10f
8、=5>/5=5y[52.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例：已知x2+2），=1,求z=3x-4y的极值.2解：•••X2+2y2=1,X2+yy=1/2令兀=cos&,y=("sin&)/2(0v0<2tt)则z=3cos0-2V^
9、sin&=V17cos(0+0)(其屮tan0=~~~)•・•cos(&+°)
10、<192.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例：已知兀,y满足x2-2xy+y2一-y[ly+6=0,z=x4-y的最小值.解：由z»+y得)，=z-兀代人约束条件并以x为主元整理得：4F—4-zx+(z?—p2.z+6)=0•・•xgR,・・・A=16z2一16(z?—V^z+6)>0解得：z>3
11、>/2(1)当且仅当“甥L芈时⑴式取等号。由的对称性知当兀=y=芈吋,其实，函数极值的解题方法不少,如不等式法、三角法、参数法，极坐标法、区间法等都有一定的技巧性•解题时应认真分析，审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件，抓住特征，发挥联想,运用灵活多变的替代、转化，有吋还需要反其常规，逆向思维，以退为进选择合理的解题方法，逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题。2.函数最
