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1、“微积分”课程论文首页学院理学院专业信息与计算科学班级14-1学号14480010135姓名周玮成绩论文题目函数的极值与最值及其应用评语签字：2015年6月日函数的极值与最值及其应用4周玮摘要：本文将通过函数极值与函数最值的定义、联系、区别及其求解方法，系统阐述函数极值与最值的概念和性质，然后通过运用相关知识解决问题的例子展示出极值与最值的应用在解决问题中的重要作用。关键词：极值；最值；条件极值；拉格朗日乘数法；应用。1.多元函数的极值及其求法1.1多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=ƒ(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内点若
2、某点及其邻域均属于某集合，则该点称为集合的内点。。若存在P0的某个邻域以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。U(P0)属于D，是得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有ƒ(x,y)＜ƒ(x0,y0)，则称函数ƒ(x,y)在点(x0,y0)有极大值ƒ(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数ƒ(x,y)的极大值点；若对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有ƒ(x,y)＞ƒ(x0,y0)，则称函数ƒ(x,y)在点(x0,y0)有极小值ƒ(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数ƒ(x,y)的极小值点。极大值、极小值统称为极值。使得函
3、数取得极值的点为极值点。定理1（必要条件如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。）设函数z=ƒ(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)，且在点(x0,y0)处有极限，则有ƒx(x0,y0)=0，ƒy(x0,y0)=0.定理2（充分条件如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A）设函数z=ƒ
4、(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又ƒx(x0,y0)=0，ƒy(x0,y0)=0，令ƒxx(x0,y0)=A，ƒxy(x0,y0)=B，ƒyy(x0,y0)=B，则ƒ(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；（2）AC-B2＜0时没有极值；（3）AC-B2＝0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。1.2条件极值拉格朗日约瑟夫·拉格朗日（JosephLagrange，1736年1月25日－1813年4月11日），法国籍意大利裔
5、数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了20年，被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大的数学家”，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。乘数法条件极值4设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积V=xyz。又因假定表面积为a2，所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xy+y
6、z+xz)=a2，像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。拉格朗日乘数法要找函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立起来：ƒx(x,y)+λφx(x,y)=0,ƒy(x,y)+λφy(x,y)=0,φ(x,y)=0.由这方程组解出x,y及λ，这样得到(x,y)就是函数ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。2.极值与最值的应用2.1极值与最值的例题例1求函数ƒ(x,y)=x3
7、-y3+3x2+3y2-9x的极值。先解方程组ƒx(x,y)=3x2+6x-9=0,ƒy(x,y)=-3y2+6y=0,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。在求出二阶偏导数ƒxx(x,y)=6x+6，ƒxy(x,y)=0，ƒyy(x,y)=-6x+6.在点(1,0)处，AC-B2=12*6＞0，又A＞0，所以函数在(1,0)处有极小值ƒ(1,0)=-5；在点(1,2)处，AC-B2=12*(-6)＜0，所以ƒ(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC-B2=-12*6＜0，所以ƒ(-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，
8、AC-B2=-12*(-6)＞0，又A＜0，所以函数在(-3,2)处有极大值ƒ(-3,2)=31。例24设生产某产品需要用
