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《微积分(函数的极值最值及其应用) 精品课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、第四节函数的极值、最值及其应用4.4.1函数的极值及其求法1定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2定理：(必要条件)若点x0是函数f(x)的极值点,且f(x)在x0可导,则。定义：注意:例如,3定理2(一阶充分条件)设函数f(x)在x0的某空心邻域内可导，且在x0连续。证:根据函数单调性判别定理，由1）中条件可知，函数f(x)在点x0的左邻域内单调增加，在点x0的右邻域内单调减少。4求极值的步骤:而f(x)在x0处又是连续的，故由极大值的定义可知，f(x0)是f(x)的极大值。(2)
2、求的点和不可导点。(3)检查在驻点和不可导点左右的正负号，由此判断极值点。(4)求极值。5例1：解：把定义域分成区间列表讨论不是极值极大值极小值由表可知，f(x)在x＝3处取极大值f(3)=108，f(x)在x＝5处取极小值f(5)=0。6例2：解：把定义域分成区间列表讨论极小值极大值不存在由表可知，f(x)在x＝0处取极大值f(0)=0，f(x)在x＝1处取极小值f(1)=－3。7定理3(二阶充分条件)：设f(x)在x0处具有二阶导数,且f/(x0)=0,f//(x0)≠0,那末(1)当f//(x0)＜0时,函数
3、在x0处取得极大值；(2)当f//(x0)＞0时,函数在x0处取得极小值。证:同理可证(2).8例3:解:9注意:图形如下10考研题欣赏（2005年3，4）设（A）是极大值，是极小值。下列命题中正确的是。（B）是极小值，是极大值。（C）是极大值，也是极大值。（D）是极小值，也是极小值。答案：（B）114.4.2函数的最值及其求法ababab若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上一定存在最大值M和最小值m.12步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个
4、大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值(最大值或最小值)。13例4:解:计算比较得1415例5:解:如图,16解得17实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值(最大值或最小值)。18例6:某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解:设房租
5、为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为:19（唯一驻点）故每月每套租金为3500元时收入最高.最大收入为:即为极大值。20例7:一工厂生产某种产品，每月产量为x(千克)时，总成本C（万元）为：求当产量为多少时，平均成本最低。解:平均成本函数为：所以当产量x＝80时，平均成本最低为C(80)＝84。21一般地设总成本函数为C=C(x),x为产量。则平均成本函数为:要使平均成本函数最低，则应有：于是有即平均成本＝边际成本22例8：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为Q＝1000－100P，求当P=?时总收益最大。
6、解：依题意总收益函数所以当价格P＝5时，总收益最大为R(5)＝2500。称为边际收益递减规律R＝PQ=P(1000－100P)=1000P－100P223考研题欣赏（2004年）设某商品需求函数为Q＝100－5P，其中P∈(0，20),Q为需求量。(1)求需求量对价格的弹性Ed(Ed>0);(2)推导，(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在什么范围内变化时，降低价格反而使收益下降。24解：例9：某商品需求量x与价格P之间的函数的关系为x＝1000－100P，固定成本为500元，单位可变成本为2元。当产量x为何值时
7、利润最大？总成本函数为C(x)＝2x＋500。总收益函数为：R(x)＝xP=10x-0.01x2。则利润函数为:L(x)＝R(x)-C(x)＝8x-0.01x2-500所以当产量x＝400时，利润最大为L(400)＝1100元。25一般地设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x)。则利润函数为:L(x)＝R(x)-C(x)。要使利润最大，则应有：于是有即边际收益＝边际成本（称为利润最大化的必要条件）于是有即边际收益的边际<边际成本的边际（称为利润最大的充分条件）26例10:某商店每天向工厂按出厂价每件300元购进
8、一批商品零售，若零售价为每件400元，估计销售量为400件，若零售价每降低5元，则可多销售40件，问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，所获得利润最大？最大利润为多少元？解：设进货量为x件，售价为P元/件，依题意可知满足关系式:化简后得:x=3600-8P易知利润函数为:L(P)＝(P-300)x＝-8P2+6000P+108000027令所以当P=37
