论文初稿函数的极值和最值及其应用 结课论文

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1、华北水利水电学院函数的极值和最值及其应用课程名称：高等数学（2）专业班级：测控技术与仪器（89）班成员组成：联系方式：156397261502012年5月27日摘要:本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。关键词：极值；最值；应用。1.引言函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型

2、的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可

3、导的点或导数为零的点中取得。若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导.(1）若当时，当时，则在点取得极小值.（2）若当时，当时，则在点取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（1）若，则在取得极大值.（2）若，则在取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设在的某个邻域内,存在直到阶导函数，在处阶可导，且,则.（1）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值;（2）当为奇

4、数时，在处不取极值.2.3函数极值的求解方法2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。例：已知，求函数的极值。解：由题设得，代人得即函数的定义域为：当时，当时，2.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。例：求函数的极小值.解：设令则：2.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例：已知，求的极值.解：令则（其中）2.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如

5、能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例：已知满足，求的最小值.解：由得代人约束条件并以为主元整理得：解得:（1）当且仅当时（1）式取等号。由的对称性知当时，.其实，函数极值的解题方法不少,如不等式法、三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题。3.函数最值的相关理论3.1函数最值的定义3.1.1

6、函数最值设函数在区间上有定义，如果存在一点，使得不小于其他所有的，亦即，则称是在上的最大值，又可记为；同样使得不大于其他所有的，亦即，则称是在上的最小值，又可记为.3.2函数最值的求解方法3.2.1导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间[a，b]上的最值可分以下步骤进行：1.求函数的导数2.求函数在[a，b]内令的的值（称之为“驻点”）3.判断驻点左右两侧的正负，以此判断函数曲线的走向（为上升，为下降），左边上升、右边下降的驻点处的函

7、数值为极大值，反之为极小值。4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。例：求函数在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值。　　解：先求导数得：，　　令即，　解得　　计算得：　　　比较得3.2.2几何法例如：已知，求函数的最小值。解：本题的几何意义是在直线上求一点，使得到点的距离之和为最小。如图：设：点坐标为，直线的方程为。由几何光学原理知当点光源从射出后，经镜面反射到点。这时就是所求的最小值。设点关于光线的对称点为，于是，

8、由解得其实，对于函数最值的求解，我们可以依据极值的求解。通过最值的定义与最值和极值的关系来求解最值。4.极值的应用4.1极值理论拯救生命发生在1953年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅。此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤。