专题07 反函数-高中数学经典错题深度剖析及针对训练

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1、高中数学经典错题深度剖析及针对训练第07讲：反函数【标题01】没有弄明白反函数的定义域怎么求2【习题01】y2xx(1x2)的反函数是()22A.y11x(1x1)B.y11x(0x1)22C.y11x(1x1)D.y11x(0x1)y22xx22222【经典错解】∵∴(x1)1y所以x11y，∴x11y．x,y对换得222y11x又1x0∴1x1．因而f(x)的反函数为y11x(1x1)2222【详细正解】∵y2xx∴(x1)

2、1y因为1x2所以0x11222∴x11yx11y．x,y对换得y11x[来源:学.科.网]22又∵y2xx(x1)1(1x2)∴0y1即原函数值域为[0,1]．2所以反函数为y11x(0x1).故选B.【深度剖析】（1）经典错解错在没有弄明白反函数的定义域怎么求.（2）经典错解有两处错误，错误22①：因为1x2所以0x11，由(x1)1y开方取“正号”而不是取“负号”；②反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定.（3）求反函数的一

3、般步骤分四步，第一步:解方程求x；第二步：交换x和y；第三步：求原函数的值域得到反函数的定义域，第四步：写出原函数的反函数.x【习题01针对训练】函数y21x0的反函数是.1【标题02】对函数f(x1)的求法理解不透彻[来源:Z。xx。k.Com]1f(x)3x4f(x1)【习题02】已知，求函数的解析式..源.:.Z..k.Com]y71x7【经典错解】由已知得f(x1)3(x1)43x7y3x7即x，∴f(x1)331x41(x1)4x3【详细正解】因为f(x)3x

4、4的反函数为f(x)＝，所以f(x1)＝＝3331x1311【深度剖析】（1）经典错解错在对函数f(x1)的求法理解不透彻.（2）错解将函数f(x1)看作是11f(x1)的反函数.实际上f(x1)与f(x1)并不是互为反函数，一般地应该由f(x)先求f(x)，再1得到f(x1).1【习题02针对训练】函数f(x)x,则函数f(x1)（）1A．x21B．(x1)2C．(x1)2D．x21【标题03】没有理解透彻充要条件的定义2【习题03】函数f(x)x2ax3在区间[1,2]上存在反函数

5、的充分必要条件是()A．a(,1]B．a[2,)C．a[1,2]D．a(,1][2,)【经典错解】选A或B.∵a(,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)存在反函数，当a[2,)，对称轴xa在区间[1,2]的右侧，∴f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)存在反函数.【详细正解】∵a(,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)存在反函数，当a[2,)，对称轴xa在区间[1,2]的右侧，∴f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)存在反函数的充分必要

6、条件是a(,1][2,)，故选D.【深度剖析】（1）经典错解错在没有理解透彻充要条件的定义.（2）如果条件A可以推出结论B,则条件A是结论B的充分条件，如果结论B可以推出条件A，则条件A是结论B的必要条件.所以a(,1]是充分条件，并不是必要条件.a[2,)是充分条件，并不是必要条件.2【习题03针对训练】要使函数yxax3在区间[2,3]上存在反函数，则实数a的取值范是.【标题04】对“互为反函数的图像关于直线yx对称”这一性质理解不透彻11【习题04】已知f(x)的反函数是f(x)，如果f(x)与

7、f(x)的图像有交点，那么交点必在直线yx上，判断此命题是否正确？1【经典错解】由于原函数和反函数的图像关于直线yx对称，所以如果f(x)与f(x)的图像有交点，那么交点必在直线yx上.所以该命题是正确的.1x【详细正解】比如函数y()与ylogx互为反函数，它们的图像关于直线yx对称，在它们的116161111交点中，点(,)（,，）不在直线yx上.所以该命题是错误的.2442【深度剖析】（1）经典错解错在对“互为反函数的图像关于直线yx对称”这一性质理解不透彻.（2）“两互为反函数图像关于直线yx对称”，如果它们

8、有交点，它们的交点不一定在直线yx上.x【习题04针对训练】设方程2x40的根为，设方程logxx40的根为，则2.[来源:学

9、科

10、网Z

11、X

12、X

13、K][来源:学&科&网]高中数学经