第4章 假设检验

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1、第四章假设检验基本要求1．了解假设检验的基本思想，知道假设检验可能产生的两类错误，掌握假设检验的基本步骤；2．熟练掌握一个正态总体均值与放差和两个正态总体的均值差与方差比假设检验方法；23．掌握关于总体分布的假设检验方法——χ检验法。典型例题1．一个矩形的宽与长之比为0.618会给人们一个美好的感觉。某厂生产的矩形工艺品，其框架的宽与长之比X服从正态分布N(μ,σ2)，μ,σ2>0均未知。现随机抽取20个产品测量其比值为2020=2=x1,x2,L,x20，经过计算得∑xi13.466,∑xi9.267。能否认为i=1i=1X的均值μ的0.618?（

2、α=0.05）[解]（1）提出假设H0:μ=μ0=0.618,H1:μ≠0.618X−μ0（2）选取检验统计量T=~t(n−1)S/nX−μ0（3）对给定的α，H0的拒绝域为>tα/2(n−1)S/n（4）查表知t(n−1)=t(19)=2.093α/20.025202012122x=∑xi=0.673,S=(∑xi−nx)20i=1n−1i=112=(9.267−20×0.673)=0.01119S=0.10510.673−0.618故T0==2.3910.105/20根据样本值计算的结果有T0=2.391>2.093=t0.05(19)2于是在显

3、著水平α=0.05下拒绝H0，认为μ≠0.6182．某厂生产的蓄电池使用寿命X服从正态分布，N(μ,σ2)，μ,σ2>0均未知，该产品说明书上写明其标准差不超过0.9年。现随机抽取10只，得样本标准差为1.2年，在显著水平（α=0.05）下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信？[解]（1）提出假设22222H0:σ≤σ0=0.9,H1:σ>0.9(1)2n−s2（2）H0的拒绝域为>χα(n−1)σ20（3）查表得χ2(9)=16.9190.05(10−1)1.22计算χ2==16020.922（4）根据样本值计算结果χ0=16<χ0.05(9)=1

4、6.919，所以H0相容，在显著水平α=0.05下，认为厂方说明书上写的标准差是可信的。3．某厂用柱塞式填装机将胶水装入容量为250ml的瓶内。每瓶内胶水量是随机变量X。假设服从正态分布N(μ,52)。现研制一种新的填装机其装速比原来的装速明显加快。现从用新机器所装的胶水瓶中抽取45瓶，测量知其胶水量为x1,x2,L,x45，经45过计算得(−)2=794.75∑xix，试检验用新机器投入生产，标i=12准差是否有显著减少？（α=0.10）[解]（1）提出假设22222H0:σ≥σ0=5,H1:σ<5(n−1)s2（2）<χ2n−H0的拒绝域为21−

5、α(1)σ0（3）查表得χ2(44)=32.4870.9045(−)22∑xix2(n−1)si=1794.75χ====31.7902275σ50（4）根据样本值计算结果χ2=31.79<χ2(44)=32.487，所以拒00绝H0，在显著水平α=0.10下，认为用新机器投入生产，标准差有显著减小。4．某公司营销空调产品。四月份在3000个销售对象中，有40%的销售对象提出增加空调订货计划。到六月份这一比例看来又有增加的迹象。为此营销部任选384个销售对象作调查，其中184个明确提出增加订货计划，问空调订货计划有无显著增加？（α=0.10）[分析]

6、由题意知四月份空调增加订货计划的概率为p0=0.40，问六月份增加订货计划p是否增加，即问p>p0是否成立。为得到有说服力的判断，可提出假设H0:p≤p0。该问题是非正态分布。由于样本容量n=384，可视为很大，所以采用大样本方法解决此问题。由DeMoivre-Laplace中心极限定理可知当n>50近似地有m−np0V=~N(0,1)np0(1−p0)本题m=184,n=384,p0=0.403[解]（1）提出假设H0:p≤p0=0.4,H1:p>p0m−np0（2）给定α，由P{>uα}<αnp0(1−p0)m−np0可知H0的拒绝域为>uαnp

7、0(1−p0)184−384×0.4（3）由样本值计算V0==3.17384×0.4×0.6查表得u0.01=2.395．设XNμ2的样本，其中μ未X1,X2,L,X25是来自总体~(,4)知，检验假设H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0，若H0的拒绝域为X−μ0>C，试确定常数C，使检验的显著水平为α=0.05。X−μ0[解]因为在显著水平α下，H0拒绝域为>u0σ0/n即σ0X−μ0>uαn与已知X−μ0>C比较，可知σ044C=uα>u0.05=1.65×=1.32n255所以当C=1.32时，可使检验的显著水平为α=0.05。6．设总体X服从正态分

8、布N(μ,22)，x1,x2,L,x16是该总体的一个样本值。已知假设H0:μ=0,H1:μ≠0在显著水平为