第7章 假设检验

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1、第七章假设检验第一节假设检验的基本概念对总体ξ的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设，这一统计推断过程就是所谓的假设检验。下面通过一个实例说明假设检验的基本思想及推理方法。例1某工厂生产一种电子元件，在正常情况下电子元件的使用寿命ξ（单位：小时）服从正态分布.某日从该厂生产的一批电子元件中随机抽取16个，测得样本均值，假定电子元件寿命的方差不变，能否认为该日生产的这批电子元件的寿命均值.解：依题意，就是已知总体，且，要求检验下面的假设            通常称假设为原假设，称假设

2、为备择假设，检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其中之一，若认为原假设是正确的，则接受；若认为原假设是不正确的，则拒绝而接受备择假设.从抽样检查的结果知样本均值，显然样本均值与假设的总体均值之间存在差异，对于之间出现的差异可以有两种不同的解释：(1)原假设是正确的，即总体均值，由于抽样的随机性，之间出现某些差异是完全可能的；(2)原假设是不正确的，即总体均值，因此之间出现的差异不是随机性的，即之间存在实质性、显著性的差异。上述两种解释哪一种较合理呢?回答这个问题的依据是小概率的实际不可能性原理，在原假设正确的条件下，合理地构造小概率事件A，再对一次试验的结果考察

3、A有没有出现，若A出现，则说明不正确，若A没有出现，则没理由认为不正确。请看下面的具体操作。设原假设正确，即，则统计量，考虑其中称为显著水平，称为统计量u的临界值，通常取较小的值，如0.05或0.01，查表得，则因为很小，所以事件是小概率事件，根据小概率事件的实际不可能性原理，可以认为在原假设正确的条件下这样的事件实际上是不可能发生的，但现在抽样检查的结果是上述小概率事件竞然发生了，这表明抽样检查的结果与原假设不相符合，即样本均值与假设的总体均值之间存在显著差异，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为该日生产的这批电子元件的寿命均值（小时）.应当指出，上述结论是取

4、显著水平时得到的，若改取显著水平，则，从而有，因为抽样检查的结果是，可见小概率事件没有发生，所以没有理由拒绝原假设，就应当接受，即可以认为该日生产的这批电子元件的寿命均值（小时）.由此可见，假设检验的结论与选取的显著水平有密切的关系，因此，必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平下作出的。假设检验中使用的推理方法可以说是一种“反证法”，但这种“反证法”使用的不是纯数学中的逻辑推理，而仅仅是根据小概率事件的实际不可能性原理来推断的。双侧假设检验与单侧假设检验在关于假设           的检验中，当统计量u的观测值的绝对值大于临界值时，则拒绝原假设，这时u的观测值落在

5、区间或内，称这样的区间为关于原假设拒绝域，由于这里的拒绝域分别位于两侧，因此称这类假设检验为双侧假设检验，而把拒绝域只位于一侧的假设检验称为单侧假设检验。在例1中实际上我们关心的是电子元件的寿命均值不应太低，所以把问题改为“是否可以认为该日生产的这批电子元件的寿命均值不小于2500?”似乎更合理，这样就是要求检验如下的假设           由于这类原假设比较复杂，需分别进行讨论(1)   若，则，对于给定的显著水平，确定使(2) 若，因为是总体均值，所以，对于给定的显著水平，有，而当时，，   即时,必有，   因此，.总之，在原假设成立的条件下，有.因此，当较小

6、时，事件是小概率事件，若抽样检查的结果表明统计量u的观测值小于，则拒绝原假设，接受备择假设，这时拒绝域为，该假设检验为单侧假设检验。当显著水平时，查表得，而统计量u的观测值，可见小概率事件不合理地发生了，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为，也就是该日生产的这批电子元件的寿命均值显著地小于2500（小时）.上述原假设比较复杂，下面考虑另一个较为简单的单侧假设检验。设电子元件厂在正常情况下生产的电子元件的使用寿命ξ（单位：小时）服从正态分布.某日发生异常情况，可能影响产品质量，则需检验该日生产的这批电子元件的寿命均值是否有所降低，即需检验如下假设当时，，则对于给定

7、的显著水平α，确定使若抽样检查的结果表明统计量u的观测值小于，则拒绝原假设，值得注意的是，这里原假设：，与备择假设：不是对立的，但由前面的讨论可知，若，则，即同样应该拒绝接受，因此可接受备择假设：.因此，关于假设或的检验，虽然它们的原假设不同，但检验时选用的统计量及其分布却相同，对于给定的显著水平α，拒绝域都是，从而检验的结论(拒绝或接受原假设)也是相同的。留意到拒绝域位于左侧，则它们都是左侧假设检验。假设检验的一般步骤(1)   根据实际问题提出原假设与备择假设，即指出需要检验的假设的具体内容；(2)   选取适当的统计量，并在原假设成立的条件下确