向量拆分在高考立体几何试题中的巧用

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1、8中学数学研究2010年第6期向量拆分在高考立体几何试题中的巧用广西昭平县昭平中学(546800)叶大勇立体几何题是近些年高考的热点，是必考题．连结EG、EC、CG、CG，则GE从全国卷看，选择题、填空题、解答题各有一道立体fB。AECBMD·几何题，所占分值为22分．其中选择题和填空题的．．相交直线EG和EC．立体几何题为中等难度．总之，全国高考试题中，立所成的锐角(或直角)就是异体几何题稳定在占总分的15％左右．说到用向量法面直线AB．和BM所成的角．‘‘解立体几何题，一般来说，我们首先想到的是第一步．各条棱长都相等，设B如何建立空间直角坐标系．实际中，不建立

2、空间直BC=0则CM：1／2CC。=1／20由正三棱柱性角坐标系，有时直接利用向量的拆分方法去解立体一．／质得，C1E：BM=~／Bc+c=0几何题也是很快捷的．特别是解两直线所成角的问题．什么是向量的拆分法?所谓向量的拆分法是指同理易求EG=1／2BlA，：,B／za，C。G=qO-／2a不建立空间直角坐标系，而直接利用向量加法和减·．．在AC】EG中，C1G=EG+ClE法的几何意义，即向量三角形或平行四边形法则把ACEG满足勾股定理，即ACEG是直角三角向量分解成二个或多个向量解题的方法，它是我们形，C．EG=900常说向量法中的一个更具体方法．易知任何向量

3、都从而异面直线AB和BM所成的角是90。，因此可拆成多个向量相加或相减，例如、AB=AC+CD+填90。．DB=AC+CB=CB—CA．下面具体看以下对09年解法三(向量的拆分法)：求异面直线AB．和高考立体几何题的解答．BM所成的角可转为求向量AB和B的夹角余弦的一向量的拆分法在立体几何的选择或填空、绝对值问题．题中求异面直线所成角的妙用．。‘．lCOSl=例1(09年四川卷)如图，已知正三棱柱ABC—．．层＼lAB·BMJ———————：=f＼＼Ac的各条棱长都相等，是侧棱CC。的中点，则lIA．Ill1异面直线AB．和BM所成的角．．．由正三棱柱性

4、质得，AB的大小是——一．，LCMBBtLBC．B——————，———■解法一：如右图，取BC中’．．AB·CM=0，BB1。BC=0．点F，连结B．F、AF，则下面先求A日·，设BC=0，各条棱长都相由正三棱柱性质得，AF等，则上BcB1B上平面ABC，且AB．·BM=(AB+BB1)·(BC+CM)AFc平面ABC．——+—}———一+————=AB·BC+BBl·CM·．．AF上曰1日从而AF上平面BlBCC．=一口cos60~+1／20=0t．．直线AB在平面BBCC上的射影是B从而ABj_BM，因此填90。．设FnBM=0，又BF=CM，BC=B1B．易

5、点评：解法一和解法二是通常的几何法．对于证RtABBF兰Rt／tBCM(SAS)解法一，用了线面垂直的判定和性质，还有重要的三又乙MBC七BFB：MBC+BMC=90o垂线定理和全等三角形的知识，具备综合知识扎实即在ABOF中，BOF=／OBF十0FB=90。的考生才有可能用此解法．较繁琐，不提倡．对于解从而BM上BF，由三垂线定理，得BMj_BA法二关键是找平行线，转化为相交直线所成的角问因此填90。．题．而且前两种解法都用到了辅助线，这也是个难解法二：如下图，分别取B．B和AB中点E、G，点．而解法三更简洁，至少不用思考添加辅助线的2010年第6期中学数学研究

6、9问题．我们继续再看下面的高考题，进一步了解向了解题步骤，而且降低了思维难度，易接受．量拆分在解立体几何题中的作用，并体会简化解题例3(09年上海卷)如图，若正四棱柱ABCD—步骤带来解答的快捷．A。BC。D的的底面边长为2，高为4，则异面直线例2(O9年全国I卷)已知的侧棱柱ABC一BD所AD成的角的大小是——．(结果用反三。B。C的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上角函数值表示)．的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC。所成的解(向量拆分法)：由长角的余弦值为方体的体对角线性质定理得Al————lBD．f=2√—6—A．譬B．字C．D．4————}———

7、——————_+D·D，=AD·(A+解法一(几何法)：如图——————+———AD+DD1)=AD=4。。．C】C∥AlA，’．．COS·————+—————．．相交直线AB所A成的锐AD·BD角(或直角)就是异面直线IADllBDl6AB与CC，所成的角．从而填46设AB=a，BC的中点为aTecos’也可用几何法，读者可以E，连结AE、A。E、AB，则』4。E一试，这里略解．上平面ABC二、向量的拆分法在立体几何的解答题中的又‘．‘已知三棱柱侧棱与底面边长都相等，运用．易知AE：。，在△AlE中，AlEA：90。，例4(09年宁夏卷)如图，在三棱

8、锥P—AB