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《巧用向量法速解高考(立体几何)题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、巧用向量法 速解高考（立体几何）题众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中，两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题.一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具，应该说不仅降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理障碍，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验.本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题.角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为
2、向量的夹角求解.1.求两条异面直线所成的角异面直线所成的角α利用它们所在的向量，转化为向量的夹角θ问题，但θ∈［0,π］,α∈(0,］，所以cosα=｜cosθ｜=.［例1］如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2，OA=3，求异面直线A1B与AO1所成角的大小.思路分析：用平移A1B或AO1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分利用∠AOB=90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化成代数计算问题.解：建立如图4-29所示的空间直角坐标系，则O（0,0,0
3、),O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0).∴A1B=OB-OA1=（-，1，-），O1A=OA-OO1=（，-1，）.设异面直线所成的角为α，则cosα=.故异面直线A1B与AO1所成的角的大小为arccos.解题回顾：（1）以向量为工具，利用空间向量的坐标表示空间向量的数量积计算，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便.（2）也可以直接用自由向量=a,=b,=c表示与，然后再求解.2.求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成角时，一般有两种思考的途径，如图4-30，一种是按定义得∠POH=〈,〉,另一种方法是利用法向量知识，如图，平面α
4、的法向量为n，先求与n的夹角，注意PO与α成角θ与〈，n〉的关系，于是就有sinθ=｜cos〈,n〉｜.［例2］如图4-31，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.思路分析：3利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路:一种是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与面A1B所成的角；另一种是利用平面AB1的法向量n=（λ,x,y)求解.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,,a)，取A1B1
5、的中点M，则M（0，,a),连结AM、MC1，有=（,0,0)，=（0，a，0),=(0,0,a).由于·=0,·=0，∴MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.∵=(,,a),=(0,,a),∴·=0++2a2=.而｜｜==3a,｜｜=,∴cos〈,〉=.∴〈,〉=30°，即AC1与侧面AB1所成的角为30°.解法二：（法向量法）（接解法一）=（0，0，a）.设侧面A1B的法向量n=(λ,x,y).∴n·AB=0，且n·=0.∴ax=0,且ay=0.∴x=y=0.故n=(λ,0,0).∵=(,,a),∴cos〈,n〉=.∴sinθ=｜cos〈,n〉｜=.
6、∴α=30°.解题回顾：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.3.利用向量法求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种途径，一种是根据二面角的平面角的定义，如图，AB⊥l,CD⊥l,ABα,CDβ,则二面角α-l-β的大小为〈,〉.另一种方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n1、n2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.［例3］如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，，求面SCD与面SBA所成的角.
7、思路分析:本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD、AB、AS两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB、面SCD的法向量，再求其夹角.解:如图4-33，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），3C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1），得DC=（，1，0），=（，0，-1），=（1，1，-1）.设平面SDC的法向量为n
