证题中平面向量的巧用

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1、证题中平面向量的巧用　　摘要：平面向量进入中学教材，为考生使用代数方法研究问题提供了强有力的工具.近几年高中改革的趋势是几何问题代数化，对于向量而言，它具有“双重身份”，不仅像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，而且能利用几何意义进行几何形式的变换.于是，它越来越频繁地成为联系多种知识的媒介.本文就平面向量自身的优越性例谈它在解决一些问题中的妙用.　　关键词：平面向量证明巧用　　一、证明等式　　例1：设（x■+y■）（m■+n■）=（mx+ny）■（mn？堍0），求证：■=■.　　分析：由条件知x■+y■，m■+n■分别是坐标（x，y），（m，n

2、）对应模的平方，而结论的变形nx-my=0是这两个向量共线的充要条件，从而可以构造向量求解.　　证明：若x=y=0，结论显然成立.　　若x，y不全为零，不妨设■=（x，y），■=（m，n），则cos=■=■=1　　∴=0或=π　　∴■∥■nx-my=0　　∵mn≠0　　∴■=■7　　二、证明不等式　　例2：设-■≤a≤■，b≠0，a，b∈R，求（a-b）■+（■-■）■的最小值.　　解：设■=（a，■）　　∴

3、■

4、=■=■　　■=（b，■）

5、■

6、=■　　■-■=（a-b，■-■）　　∵

7、■-■

8、≥

9、■

10、-

11、■

12、　　∴■≥■-■≥3■-■=2■　　即（a

13、-b）■+（■-■）■≥8当且仅当b■=■即b=±3时取等号　　故（a-b）■+（■-■）■的最小值为8.　　例3：证明柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式（■a■?b■）■≤■a■■?■b■■　　证明：设■={a■，a■，a■，…，a■}，■={b■，b■，b■，…，b■}　　∵■?■=■a■?b■

14、■

15、=■

16、■

17、=■　　又∵

18、■?■

19、≤

20、■

21、?

22、■

23、　　∴

24、■a■?b■

25、≤■　　∴（■a■?b■）■≤■a■■?■b■■　　评注：用向量证明不等式或用向量求函数的最值（或值域）的依据是我们常用的几个结论：　　（1）由■?■=

26、■

27、?

28、■

29、

30、?cosθ（其中θ是两向量的夹角）可知：7　　①■?■=

31、■

32、?

33、■

34、（当且仅当■，■同向时取等号）；　　②

35、■?■

36、≤

37、■

38、?

39、■

40、（当且仅当■，■平行时取等号）；　　③（■?■）≤

41、■

42、■?

43、■

44、■（当且仅当■，■平行时取等号）.　　（2）

45、■

46、-

47、■

48、≤

49、■+■

50、≤

51、■

52、+

53、■

54、，当■，■同向时右边不等式取等号，当■，■反向时左边不等式取等号.　　（3）

55、■

56、-

57、■

58、≤

59、■-■

60、≤

61、■

62、+

63、■

64、，当■，■反向时右边不等式取等号，当■，■同向时左边不等式取等号.　　三、在三角函数中的应用　　问题的解决必须找到最佳切入点，用向量解决问题.最佳切入口是

65、分析向量结构，即研究向量之间关系.　　例4：证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ　　分析：可以用类比联想的方法把cosαcosβ+sinαsinβ与x■x■+y■y■看做向量■=（x■，y■）与■=（x■，y■）的数量积，即■?■=x■x■+y■y■.因此cosαcosβ+sinαsinβ可以看做是两个向量的数量积.又从cos（α-β）入手，可以把（α-β）看做向量夹角.由数量积公式■?■=

66、■

67、?

68、■

69、?cos，若

70、■

71、=1，■=1，则有■?■=cos，利用单位圆即可解决.　　证明：如图，设角α，β的终边与单位圆相交于A、B，则向

72、量：　　■=（cosα，sinα），■=（cosβ，sinβ），于是：　　■?■=

73、■

74、?

75、■

76、?cos（α-β）=cos（α-β）　　又∵■?■=cosαcosβ+sinαsinβ　　∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ7　　例5：证明余弦定理　　证明：如图所示设■=■，■=■，■=■　　由■+■+■=■，得-■=■+■　　∴（-■）■=（■+■）■　　∴（■）■=（■）■+（■）■+2■?■　　=（■）■+（■）■+2

77、■

78、?

79、■

80、cos（π-C）　　=

81、■

82、■+

83、■

84、■+2

85、■

86、?

87、■

88、?cosc　　∴c■=a■+b■-2abc

89、osC　　同理可得：a■=b■+c■-2bccosAb■=c■+a■-2cacosB　　评注：通过构造向量解决三角函数问题，解法新颖而精巧，成功地将较繁琐的三角函数问题转化为向量问题，解法简洁流畅.解这类问题时，关键是要熟练地掌握向量数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的数学问题进行求解，体现了“向量问题函数化，函数问题向量化”的等价转化思想.其中，模的平方与向量数量积之间的关系

90、■

91、■=■?■=x■+y■，■=（x，y）是向量与实数互换的依据和桥梁，也是重要的转化思想.　　四、在平面几何中的应用　　例6：（点到直线的距离公式的证明）　

92、　问题：已知点P（x■，y■）到直线l：Ax+By+C=0的距离为d，求证：d=■.　　证明：