解数学竞赛题的局部调整策略

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1、10中等数学解数学竞赛题的局部调整策略郑日锋(浙江省杭州学军中学,310012)　　局部调整法,就是为了解决某个问题,从合时,P到三边距离之和最小.与问题有实质联系的较宽要求开始,充分利综上可知,当点P与点A重合时,P到用已获得的结果作为基础,逐步加强要求,逼三边距离之和最小.近目标,直至最后彻底解决问题的一种解题2.点P在△ABC内部方法.这种方法在解数学竞赛题中有着广泛如图2,过的应用,本文结合例题介绍这种方法的应用.点P作BC的平例1　已知锐角△ABC中,∠A>∠B>行线交AB于E,∠C.在△ABC的内部(包括边界上)找一点交AC于F.固定P,使得P到三边的距离之和为最小.x,由步骤1知

2、,图2分析:先讨论点P在△ABC边界上的情x+y+z况,研究点P在什么位置时,P到三边距离>EG+EH.之和最小;然后再对点P在△ABC的内部的变化x,有情形进行研究.EG+EH≥ha.解:1.点P在△ABC的边界上故x+y+z>ha.(1)若点P在综合步骤1、2知,当点P与点A重合边BC上,如图1,记时,x+y+z最小.△ABC的顶点A、例2　已知正实数x1,x2,⋯,xn,满足B、C对应的三边长x1x2⋯xn=1.求证:分别为a、b、c,三边图11+1+⋯+1≤1.上的高分别为ha、n-1+x1n-1+x2n-1+xnhb、hc.P到边AB、AC的距离分别为x、y,连分析:先从特殊情形入手

3、,当x1=x2=结PA.由已知得a>b>c,故ha

4、1+x1n-1+xnn-12004年第4期11为因为m′-m=(n-1)(1+x1xn-x1-xn)111=(n-1)(x1-1)(xn-1)<0,++⋯+n-1+x2n-1+x3n-1+xn-1所以,m′,即n-1+x1n-1+xnn-1Zx21xn≤(n-1).2x1xn<(n-1).2已假设x1xn<(n-1),所以,第一

5、次调整:令x′1=1,x′n=x1xn,x′j=xj2x1xn≤(n-1).(2≤j≤n-1).111故++⋯+下面证明n-1+x1n-1+x2n-1+xn111111++⋯+≤++⋯+n-1+x1n-1+x2n-1+xnn-1+x′1n-1+x′2n-1+x′n111111≤++⋯+,=++⋯+,n-1+x′1n-1+x′2n-1+x′nnn-1+x′2n-1+x′n即证11其中x′2x′3⋯x′n=1.+n-1+x1n-1+xn再继续调整,可得≤11+.①111n-1+1n-1+x1xn++⋯+n-1+x1n-1+x2n-1+xn1令f(x)=,则111n-1+x≤++⋯+=1.nnn11

6、n个f(y)+f(z)=+n-1+yn-1+z注:本题调整的目的是逐步将所证不等2(n-1)+y+z1=2.式左边各项变为.需要注意,每次调整应使(n-1)+yz+(n-1)(y+z)n记m=(n-1)(x1+xn),各变量的积为1,而且不等式左边放大.m′=(n-1)(x′1+x′n)=(n-1)(1+x1xn),例3　在1,2,3,⋯,1989每个数前添上22“+”或“-”号,使其代数和为最小的非负数,b=(n-1)+x1xn=(n-1)+x′1x′n,并写出算式.1a=2(n-1),c=.n-1(1989,全俄数学奥林匹克)11解:先证其代数和为奇数.故+n-1+x1n-1+xn从简单情

7、形考虑:=f(x1)+f(xn)=a+cm,全添上“+”,此时b+m1+2+⋯+1989=995×198911+是奇数.n-1+1n-1+x1xn对一般情况,只要将若干个“+”调整为a+cm′=f(x′1)+f(x′n)=.b+m′“-”即可.12中等数学由于a+b与a-b奇偶性相同,故每次n′1n′2=(n1+1)(n2-1)调整其代数和的奇偶性不变,即总和为奇数.=n1n2+n2-n1-1>n