调整法与局部调整法

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1、调整法和局部调整法证明不等式常用方法之一比如要证，先考察取等条件，根据F的形式和取等条件构造一个变换，使得对任意的，有，然后只需证变换后的即可。局部调整经典例题：（03年国家集训队）a,b,c>=0且ab+bc+ca=1,求的最小值根据对称性，不妨设a<=b<=c，下证：记，，则上述不等式//不等式两边减1//有c’-c>=0的保证，因为而由，故原不等式成立；由上，下证：记，，则，由于G(u)在[2,+inf)是单调递增的故G(u)>=G(2)=5/2这个例子是调整法的一个很好的例子，局部调整法中最经典的可以参看排序不等式的证明。之前有用反向归纳

2、法提供了一个A-G不等式证明思路，下面再用局部调整的想法去考虑：先申明一条：A-G不等式的条件中限定每个元素都是正数。还是先从n=２开始，要证设，，令，下证不妨设，，则，当且仅当时取等号，证毕.然后考虑n元的A-G不等式，设，，令，下证对任意的存在某个ai不等aj的(a1,a2,…,an)，于是我们证明了对任意的存在某个ai不等于aj的(a1,a2,…,an)，F(a1,a2,…,an)不是值域中的最大值。这里有个问题，我们从来没有考虑过值域集合是否存在最大值？虽然由和确界定理可知上下确界存在。但是Fn的上确界是否属于值域中的元素就是个大问题了。

3、这里借用一个泛函分析中的定理：对连续映射，开集的原象是开集，闭集的象集是闭集。有人说，这里定义域不是闭集阿，那么我们把每个a[k]范围从正数扩充到非负数（以上对正数的分析仍然成立，而如果某个a[k]为零，则乘积为零显然也不是最大值），这样象集合就是闭集，上确界必然存在于值域集合内，也就是说，最大值是存在的。到此我们可以Claim：F(t,t,…,t)就是最大值.从这一点说，我可以理解为什么当年从来没有老师教这种证明A-G不等式的方法了.如何用调整法证明平均值不等式继续追问：c1，c2怎么设补充回答：