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1、初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）方程是--种重要的数学模型，也是重要的数学思想有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。一、知识要点1.形如吃・b方程的解的讨论：⑴若金=0,①当时，方程有无数个解；■②当匸丸吋，方程无解；■⑵若訥,方程的解为＞=*0d2.关于一元二次方程&+虹*・0（/0）根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。⑴若盘乂4＜：・1],则它有一个实数根T=1；若，则它有一个实数根
2、t=—1。⑵运用数形结合思想将方程eGMK.DG絢根的讨论与二次函数ysUMyG丸）的图象结合起來考虑是常用方法。3•涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根（即原分式方程的增根）。4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的儿何意义。5•解决有关方程整数根的问题吋，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。二、例题选讲1•方程整数根的讨论例1•已知且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是0解：设方程的两个实数根为、、J，
3、贝1」90・》十髻■-偽十勺）十巧号・仇_叹升-1）-1,所以仇-叹齐・9■册。因为打、j都是整数，且97是质数，若设则xB-I-1，x,-l-97,或，因此最大的根是98。评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在冇关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.（2004年四川）已知厂g为整数，关于，的方程”・・*丹4童41・0冇两个相同的实数根，则头一匕等于（）A.l；B.2；C・±l；D.±2・分析：依题意得丄@*4*4&-0-&-0.—4盘4444.
4、0，所以风-1）.2,4由二，A为整数得,或所以二一卍=±1。例2.（2000年全国竞赛）已知关于>的方程的根都是整数，那么符合条件的整数乂有个。解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。①当时，=1，符合题意；②当a.l时，原方程是一元二次方程，易知、汇是方程的一个整数根。设（，是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得1十斗・2_。因为、是整数，所以】_戈=1-A±1,或±2,・•・力=一1,0,2,3o结合①、②得，木题符合条件的整数矢有5个。评注：木例首先对疋项的系数是否
5、为零进行了分类讨论。对于..1时方程解的讨论方法具有一般性，即由吕■丄7是整数判断得、七=±1，或±2。1l-d延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应川到整除知识与分解变形技巧,是初屮数学竞赛常考的内容，如：（2004年信利杯）已知八匕是实数，关于…的方程组有整数解（t,v）,求二、匕满足的关系式。解：原方程组刊化为尸■-x1—'所以（l+Riy■x*，显然方程屮*工一1,因此，■丄・£±1二丄。因为八是整数，所以即」o,或X-I-1X-klx+l当r=0时此时二、匕满足的关系式是卜=0（7为任意实
6、数）;当>=—2时，m=8,此时0、匕满足的关系式2«m・D。例3.（2004年全国联赛）已知方程x»-fa-4n*-32.-0的根都是整数，求整数三的值。解：原方程的解为一缸眉'43血小。因为方程式的根都是整数，所以易十g必须是完全平方式。设3#站・0・
7、»1■（二>°），贝IJ®十的'-，5・・・，所以6十8十*»令8-・）・，5。'：55-1x55-5x11-（-9<-55）-（-9<-10冃為十8十曲>為十卜■，.pN+«+M-55pN*«4-M-!!p»+84n--la--5・・12N44-M-1，
8、（2N44-M-5，12W4-8-3B--55'b”十解得-=10,0,-18,-8O评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初屮数学竞赛题屮较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：类题.（2004年太原）已知&为整数，若关于丫的二次方程AxUQ*十为x1・O有有理根，则的值是o分析：由已知得A.・C»+豹-4fc为完全平方数。设（2fc十胪为正整数），即心皿①将①看作是关于J的二次方程，由题设知冇整数根，故式①的判别式■应为
9、完全平方数。令I®■-正整数，且匕>：：），则■沖■，‘因此严》■!解得［■",所以①可化为，解得.=—2,或卩0（舍却。R1>9・2例4.（2001年全国竞赛）如果次,A为质数，且寸・13*.・D'y-l»4->-n'那么i+-b0的值为（）A.咚；B.空或2；C«l；D.竺或2.22222222解：依题意，「-都是关于二的方程r-i3>+.-D的根。若二丸，贝心，&是方程-l3r+«.0两个不相
