初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略一

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1、初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）安徽省巢湖市教学研究室张永超（本讲适合初中）方程是一种重要的数学模型，也是重耍的数学思想z—。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决冇关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。一、知识要点1.形如丄方程的解的讨论：⑴若金=0,①当匕=0时，方程有无数个解；②当匕和时，方程无解;⑵若金H0,方程的解为=*od2.关于一元二次方程根的讨论，一般需应用到根的判別式、根与系数的关系等相关知识。⑴若＜

2、乂址・1］，则它

3、有一个实数根＞=1：若—b"・D，则它有一个实数根＞=-U⑵运用数形结合思想将方程四・十生卄.。（戈約根的讨论与二次函数工0）的图彖结合起來考虑是常用方法。3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根（即原分式方程的增根）。4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。5•解决冇关方程整数根的问题时，一般要应川到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。二、例题选讲1•方程整数根的讨论例1.已知且方程H的两个实数根

4、都是整数，则其最大的根是。解：设方程的两个实数根为、>,»贝Ijsv■十可）4•巧号（升-1）-1,所以（旺-2.-0・97。因为、X都是整数，且97是质数，若设

5、；C.±l；D.±2.分析：依题意得丄&•baB-g-物-D■亠十0+*"

6、4・。，所以“■1X^-0-2，4由二，匸为整数得,或所以二一卍=±1O例2.（2000年全国竞赛）已知关于t的方程的根都是整数，那么符合条件的整数筈有个。解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。%1当龙二时，‘一符合题意；%1当4.1时，原方程是一元二次方程，易知、兀是方程的一个整数根。设、是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得1+r-J-0因为、是整数，所以1—11-a±1,或±2

7、,w=—1,0,2,3。结合①、②得，本题符合条件的整数"有5个。评注：本例首先对扌项的系数是否为零进行了分类讨论。对于童.1时方程解的讨论方法具有一般性，即由/=_?—1是整数判断得_“±1，或±2。1l-d延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧,是初中数学竞赛常考的内容，如：（2004年信利杯）已知八規实数，关于，、.:•的方程组p■八"如有整数解（-[J-AT+bF），求二、卜满足的关系式。解：原力程组可化为/■.■■咸侶卜助—X1—，所以■x1，显然力

8、程中卜H—1,因此，■丄.4二丄。因为'、三是整数，所以i“.±i，即—o,或x4-lx4-lx+l—2。当i=0时,=0，此时w、丁满足的关系式是丁=0（w为任意实数）；当1=—2时，.:・=8,此时—孑满足的关系式例3.（2004年全国联赛）已知方程的根都是整数，求整数••:的值。解：原方程的解为*■吐后匚五刁。因为方程式的根都是整数，所以4»—3刼十。必须是完全平方式。设■（弋＞°），贝1丿（3»十卯-”■■・，所以十*）0»十&-・1・»。'：55-!x55-5xil-（-px（-55）

9、-（-9x（-lD,且2t+8+n＞te-F8-■・px+8+«i=5Spx4«4-a=ll0»+84»=-1=-5・・

10、2n*4-m-!，

11、2n+«-m-5，

12、2»+8-n--55'£»+&■・■■]]，解得-=10,0,-18,—8。评注：涉及完全平方数的一•元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竟赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式,多次变换讨论的对象，如:类题.（2004年太原）己知戸为整数，若关于Y的二次方程十为*钊・a有有理根，则

13、£-的值是。分析：由已知得为完全平方数。设a十对■“（弋为正整数），即-o①将①看作是关于&的二次方程，rtl题设知有整数根，故式①的判别式■畋■・_》应为完全平方数。令正整数，且二＞：：），贝IJ*-功B十用■,，因那么冷此丄::■:,解得,所以①"J化为4V+8fc・0，解得•-=—2,或7=0（舍去）。例4.（2001年全国竞赛）如果二，孑为质数，且^-13b+»-0的值为（）A•竺；B.«L或2；C«l；D.竺或2.22222222解：依题意，「乞都是关于二的方程r-131+.-o的根。