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1、2中等数学数学活动课程讲座解数学竞赛题的两个局部策略(上)王连笑(天津市实验中学,300074)(本讲适合初中)这个三角形的边相交的不同情况,这样,一道有不少数学题描述的是整体的特征,整题就可分解成4个局部问题.体的结果,但由于所给条件的任意性、变动(1)当直线过三角形顶点时,该直线能否性,有时不容易从整体进行分析,这时,我们平分三角形的周长与面积?可以暂时放下整体而去考虑局部,或是集中(2)当直线与短直角边、斜边相交时,该力量先解决某一局部问题,或是对局部进行直线能否平分三角形的周长与面积?调整,再回到整体上来,这
2、就是解题的局部化(3)当直线与长直角边、斜边相交时,该策略.正如乔治·波利亚所说“局部提示整直线能否平分三角形的周长与面积?体”“局部恢复整体,”.采用局部化策略有许(4)当直线与两直角边相交时,该直线能多手段,例如,可以将某一个变量看作常量,否平分三角形的周长与面积?或进行局部调整,或采用磨光变换,或把整体下面就分别解决这几个局部问题.分解为局部,或对整体问题分步推进.本讲座设此三角形为△ABC,∠C=90°,AC=只讲分解策略和分步推进策略.6,BC=8,AB=10,直线为l.(1)直线l过△ABC的某一顶点时,
3、因为1 分解策略任何过三角形的顶点且平分三角形的面积的在解数学题时,常常遇到这样的情形,在直线必平分对边,此时,自然不能平分这个三按照统一的解法解到某一步之后,不能再继角形的周长.因此,这条直线不能满足题目的续下去了,这时,就需要按照逻辑划分的原要求.则,把所研究的对象分成若干个局部,把每一(2)如图1,当直线l个局部看成一个小题目逐一地加以解决,使与AB、AC相交,且交点分整体的问题得以解决.别为S、T时,设CT=x例1 一个三角形三边之长为6、8、10.(x>0),则AT=6-x.显求证:仅仅存在一条直线平分这个
4、三角形的然,半周长为12.周长和面积.若直线l平分△ABC图1讲解:显而易见,边长为6、8、10的三角的周长与面积,则AS=6+形是一个直角三角形,其周长为24,面积也x,且为24.112=S△AST=(6-x)(6+x)sinA2要证明仅仅存在一条直线同时平分这个128三角形的周长和面积,就要考虑这条直线与=(36-x)·.2102 收稿日期:2005-09-13于是,有x=6.解得x=6.2005年第12期3故AT=6-6,AS=6+6.(1)如图4,在△ABC所以,直线ST满足题目要求.中,∠A、∠B、∠C的
5、对(3)如图2,当直线l边分别为a、b、c,∠A=与BC、BA相交,且交点分2∠B.别为S、T时,若直线l平分延长CA到点D,使△ABC的周长与面积,设AD=AB=c,则图4BS=6-x,则BT=6+x.CD=b+c.由平分面积的要求有图2由∠A=2∠B,知1∠ABC=∠D.12=S△BST=(6-x)(6+x)sinB2又∠C=∠C,所以,△ABC∽△BDC.1(36-x2)·3BCACab=.故=,即=.25DCBCb+ca22于是,有x=-4.于是,a=b(b+c).由于方程无实数解2,所以,这样的直线不(2)
6、在a=b(b+c)的前提下,求出三条存在.边长为三个连续正整数的三条边.(4)如图3,当直线l这里又需要分为几种情况思考.与CA、CB相交,且交点由∠A=2∠B,肯定a>b.但c与a、b分别为S、T时,若直线l的大小关系不确定,又可分为如下几个局部.平分△ABC的周长与面(i)当a>c>b时,设积,设CS=6-x,则CTa=n+1,c=n,b=n-1.=6+x.仍有图32由a=b(b+c),有1212=S(36-x2).(n+1)=(n-1)(2n-1).△CST=2解得n=5.解得x=23.此时,a=6,c=5,b
7、=4.此时,CS=6-23,CT=6+23.(ii)当c>a>b时,设c=n+1,a=n,然而,CT=6+23>8=BC,所以,这样b=n-1.于是,2的直线不存在.n=(n-1)2n.综上所述,只有情形(2)的直线存在,即解得n=2.仅仅存在一条直线同时平分这个三角形的周此时,a=2,b=1,c=3不构成三角形.长与面积.(iii)当a>b>c时,设a=n+1,b=n,例2 证明:只存在唯一一个三角形,它c=n-1.于是,2的三边长为三个连续正整数,并且它的三个(n+1)=n(2n-1).2内角中有一个内角为另一个
8、内角的2倍.即n-3n-1=0.讲解:把问题分解成两部分:上式无整数解.(1)当一个三角形有一个内角为另一个综上所述,只存在唯一一个三角形,其三内角的2倍时,三角形的三边有什么关系?边长为4、5、6是连续正整数,且其中一个内(2)在结论(1)的前提下,三边长是连续角为另一个内角的2倍.正整数时,三边长各是多少?例3 平面上有一个凸四边形ABCD
