导数类题目中的函数构造策略

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1、·辅教导学·数学通讯一一-2015年第4期(上半月)17导数类题目中的函数构造策略谢鹏作(甘肃省玉门市第一中学，735211)函数最值问题、不等式恒成立问题、参数的取g(0)>0，值范围问题在高考试题中频繁出现，并以压轴题Ig(1n是)<0，的形式重点考查，这三类题目在某种程度上通过『g(2)>0，【0

2、直接构造函数新函数构造缘由由于函数(z)在(0，2)例1(2014年山东卷理科2O题)设函数内存在两个极值点，故直接讨论厂(z)在(0，2)内的单调性，于是对函数厂()求导函数，因为导函厂(z)一Z一k(4+lnz)(忌为常数，是自然对数山数()一1二二的正负值决定厂(z)的底数)．的单调性，所以在(0，2)内讨论一妇的正负，因(1)略；(2)若函数()在(0，2)内存在两个此，构造函数g(z)一一kx，∈(O，2)．极值点，求k的取值范围．2．等价变形构造函数解由(1)知，忌≤0时，函数，(工)在(O，2)例2(2014年辽宁卷理科2l题)已知函数内单调递减，即函数，(z)在(

3、O，2)内不存在极值厂()一(c。sz—)(7c+2z)一8(sin十1)，g()点，故k>0．因为(z)一—e~-—x2_2Xex忌(一2+)一—一一一3(～7c)cosz一4(1+sinz)in(3一)．证明：工工工_二—————————————————一，记l已g()一—～——定z，z∈(0U，2Z)J．(1)存在唯一的z。∈(0，)，使f(x。)一0；若函数厂(z)在(o，2)内存在两个极值点，则g()(2)存在唯一的．7C∈(要，7r)，使g(x)一0，有两个零点．且对(1)中的o，有z0+z1<7c．因为g(z)一一是，当0<忌≤1时，g()解(1)因为一一k>0在(

4、0，2)内成立，g()为单调递增函f()一(一sin～1)(+2x)+(COSz—z)数，_厂(z)在(0，2)内不存在两个极值点．当k>1×2一8时，g()<0在(O，ink)内成立，g()为单调递COS．27一～丌sin一2xsinxE4一号c。s减函数，g()>0在(In尼，+。。)内成立，g(z)为单调递增函数．所以函数g()的最小值为g(1n)由于f()<0在(0，要)内恒成立，所以一k(1一Ink)．厂()为减函数．若_厂(z)在(O，2)内存在两个极值点，当且~NNf(O)一兀一8>o，／(号)一一2一萼仅当18数学通讯一2Ol5年第4期(上半月)·辅教导学·<0，

5、所以存在唯一的z。∈(o，号)，使／’(。)一0(f)一一刊n(1+)，成立．所以(2)记^()一一41n(3—2S)，，(，一l十S1n,277【一!E[号，]·令￡一一时，(1十sin)(兀+2t)‘至此，要判断(￡)和h()的零点，可借助)一h(~-t)一一41n(1+f(37)的性质进行回答．∈[0，]．3．放缩变形构造函数例3(2012年辽宁卷理科21题)设f(37)一所∽一ln(x+1)+～可+甜+b，(n，bER，口，b为常一堕数)，曲线一厂()与直线一3在(O，O)点相(1+sin￡)(7c+2t)‘由(1)知，tE(0，37。)时．(￡)>0，当tE切．(1)求

6、口，b的值；(。，詈)时，(￡)<0，在(0，。)内／z(t)是增函(2)证明：当00，十0所以(￡)在(O，z。]上无零点．解(1)“一0．b一一1(过程略)．在(。，詈)内(￡)为减函数，由Z(x。)>0，(2)由(1)知厂(z)一ln(十1)+~／玎一1，因为37>0时，2、／／丽<+1+1一+(号)一一41n2<0知存在唯一的￡E(。，号)使2，即、可<委+1．当0<<2时，若ln(37十(￡1)一0，所以存在唯一的￡1E(o，詈)，使(1)1)十专<成立，必有L厂()<成立．一0．因此存在唯一的

7、z一一t。E(，)，使记^()一ln(z+1)+专一辈，则h(x1)一(￡1)一0因为当37E(-4-，7c)时，g(z)一(1+z一十号一sinx)h(z)与^(z)有相同零点，所以存在唯一的一±：兰±二±2(z+1)(37+6)‘z1E(要，7c)使g(x1)一o．因为1—7c—tl，tl>记g()一(+6)(+3)一108(x+1)，zE[O，2]，则g(z)一3x。+30x一36．zo，所以0+1<7c．构造函数缘由(2)问中，若对g()求导，有当zE(o，一5+~／)时