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1、第九章重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点:二重积分的性质.难点:运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、二重积分的概念1、【定义】:设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，，并作和，如果当各小闭区域的直径中的最大值时，这和式的极限存在，且此极限与小区间的分法以及点的取法无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即.
2、其中：①称为被积函数,②称为被积表达式,③称为积分变量,④称为面积元素,⑤称为积分区域,⑥称为积分和.2、面积元素在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,则面积元素为故二重积分可写为.3、【二重积分存在定理】设是有界闭区域上的连续函数,则存在二重积分.4、二重积分的几何意义(1)当被积函数时,二重积分表示以为顶,以为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域上连续.1．,为常数.2．.设为常数则上述两式合并为.3．(二重积分对区域可加性),.4．,为的面积.5．(积分不等
3、式)若,则.推论:.6．(积分估值定理)设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，则.7．(积分中值定理)设函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得.8．设区域，且与关于轴对称；（1）当关于是偶函数时即时，有.(2)当关于是奇函数时即时，有.类似有设区域，且与关于轴对称；当关于是偶函数时即时，有.(2)当关于是奇函数时即时，有.三、应用举例例1比较与的大小,其中.解：如图,由于点在上,过点的切线为,那么在上有,所以.例2(05.4)设,,,其中,则(A)(B)(C)(D)答 (A).因为在区域上，,所以,从而,故.例3设,当( )时,.(a)(b)(c)(
4、d)答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为的上半球体的体积.由得选(b).例4当是由( )围成的区域时,.(a)轴,轴及(b),及,(c),(d),答 (a,b,c).因为表示积分区域的面积为,故只需考察哪些选项积分区域的面积为.即可选(a),(b),(c).例5判断的正负.解：在区域上有且等号不恒成立，所以且等号不恒成立，故.例6估计积分值.解：.例7.用适当符号连接.解：在上有,在上.又由，由，故.例8设，证明.证明，由积分的估值性质得.例9设（1）若在上有界且可积，则.（2）若在上连续，则.（1）证明：设分别为函数在上的最小值与最大值，
5、则，由积分估值定理知又所以，由夹逼定理得.（2）解：由积分估值定理知在上连续，所以.小结：1.定义为二重积分.2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.
