第一节二重积分的概念与性质课件.ppt

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义二重积分的概念与性质第十章1.曲顶柱体的体积一、引例x0zyDS曲顶柱体:底:xoy面上的闭区域D;顶:S:侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面;回顾x0zyDSS:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);(2)近似(以平代曲):1.曲顶柱体的体积ix0zyD(3)求和(积零为整):.iS:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);(2)近似(以平代曲):1.曲顶柱体的体积x0zyD(4)取极限令分法无限变细i.(3)求和(积零为整)

2、:S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):x0zyD.(4)取极限令分法无限变细(3)求和(积零为整):S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):x0zyV..(4)取极限令分法无限变细V=(3)求和(积零为整):S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):2.平面薄片的质量平面薄片:在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.面密度:D的面积为,则若非常数,则用元素法:(1)分割(化整为零):D:(均匀薄片)(2)近似(

3、以不变代变):(3)求和(积零为整):(4)取极限:两个问题的共性：(1)解决问题的思想和步骤相同:(2)所求量的结构式相同:“分割,近似,求和,取极限”.曲顶柱体体积:平面薄片的质量:乘积和的极限.二、二重积分的定义定义:二重积分:(1)任意分割D:积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素说明：在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:二重积分的几何意义:表示以f(x,y)为顶以D为底的曲顶柱体的体积.表示曲顶柱体的体积的负值．(3)当f(x,y)在D上有正有负时,二重积分表示曲顶

4、柱体体积的代数和.例1.根据二重积分的几何意义求积分的值.解:积分区域被积函数-aaD上半球面,圆域.三、二重积分的性质为D的面积,则2.积分区域可加性.特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为,则二重积分估值不等式解:三角形斜边方程例2.x+y=2x+y=1解：例3.例4.解:6.(积分中值定理)证:由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有

5、界闭域,且0

6、确值元素法返回