81有4个非循环子群共轭类的有限幂零群

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1、万方数据第34卷第6期广西大学学报：自然科学版V01．34No．62009年12月JournalofGuangxiUniversity：NatSciEdDee．2009文章编号：1001-7445(2009)06-0845-04恰有4个非循环子群共轭类的有限幂零群孟伟1，卢家宽2，李世荣3(1．云南民族大学数学与计算机科学院，云南昆明650031；2．上海大学理学院数学系，上海200444；3．广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004)摘要：设G是有限群，用占(G)表示C的非循环子群共轭类的个数。占(G)对C的结构有比较强的影响。例如，6(G)=0当且仅当G循环。6(G)=l

2、当且仅当G非循环而c的所有真子群循环，即c内循环群。2007年，李世荣，赵旭波给出了有限参群(即每个可解子群日满足6(H)≤2的有限群)的完全分类。作为以上问题的继续，使用群论的初等方法，给出6(G)=4的幂零群的完全分类。关键词：幂零群；极大子群；p．群中图分类号：0152．1文献标识码：AFinitenilpotentgroupswithfournon-cyclicsubgroupsMENGWeil，LUJia．kuan2，LIShi．ron93(1．DepartmentofMathematics，YunnanNationalitiesUniversity，Kuming65003

3、1，China；2．DepartmentofMathematics，ShanghaiUniversity，Shanghai200444，China；3．CortegeofMathematicsandInformationScience，GuangxiUniversity，Nanning530004，China)Abstract：LetGbeafinitegroup，thenumberofconjugateclaspsofthenon-cyclicsubgroupsofGisdenotedby8(G)．Itisquiteclearthat6(G)givealotofinformatio

4、naboutthestructureofG．Forinstance，6(G)=0ifandonlyofGiscyclic．艿(G)=1ifandonlyifGisnon—eycHcbuteverypropersubgroupofGiscyclic．In2007，LIandZHAOinvestigatedthefinitegroups(i．e．afinitegroup‘inwhicheverysolublesubgroup日satisfies艿(H)≤2)．Inthispaper，thefinitenilpotentgroupswith艿(G)=4areclassifed．keywor

5、ds：nilpotentgroups；maximalsubgroups；P—groups本文考虑的均为有限群。从子群的性质出发来研究原群的结构和性质是群论中常用的方法(例如文献[1])。设G是有限群，6(G)表示G的非循环子群共轭类的个数。众所周知，艿(G)=0当且仅当G循环。6(G)=l当且仅当G非循环而G的所有真子群循环，即G是内循环群。1903年，MILLER和MORENO给出了内循环群的分类[2]。李世荣，赵旭波在文献[3]研究了6一群，即每个可解子群日满足B(H)≤2的有限群，并给出了艿群的分类。作为以上问题的继续，本文讨论6(G)=4时有限幂零群的结构，获得下面的主要结果

6、：定理1设G是有限幂零群。如果艿(G)=4，则G是下列情形之一：①G：---z。4×Zp；②G兰(口，6：a矿=矿=1，b-。ab=口1+一)；收稿日期：2009-03-24；修订日期：2009·10-11基金项目：国家自然科学基金资助项目(10771132)；上海大学研究生创新基金资助项目通讯联系人：卢家宽(1980-)，男，广西贵港人，上海大学博士研究生；E．mail：jklunn@163．eom。万方数据广西大学学报：自然科学版第34卷③G錾(口，67a8=b21，b～ab=a3)；④G兽Z庐XzpxZq；⑤G望zPXZp×Z目Xz，；⑥G兰zP×乙×ZP3；⑦G兰(口，67a

7、p2=bp=1，b-1ab=口1+9)×Z。其中P>2，p≠q；⑧G鉴Q8×Z。×Z，；⑨G竺Q8×Zq，。在本文中，Q。表示n阶广义四元数群，D8表示8阶二面体群，[日]K表示正规子群日被子群K的可裂扩张，乙表示P阶循环群，露表示乙×乙。未交代的符号和术语都是标准的。1引理引理1文献[2]设G非循环的p．群，但G的每个真子群皆循环。则G是下列情形之一：①G姿z。×z。；②G姿Q8。引理2文献[3]设G是有限p一群。如果6(G)=2，则G是下列情形之一：①