导数求最值与最优化

《导数求最值与最优化》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2008年12月吕梁教育学院学报Dec.2008第25卷第4期(总第66期)JournalofLvliangEducationInstituteVo.l25No.4(Sum.No.66)=教学改革>导数求最值与最优化周学勤(濮阳职业技术学院数学系,河南濮阳457000)摘要:求最值问题可以说是一个老生常谈的话题,方法多种多样,比如可以利用均值不等式求最值、利用一元二次函数求最值、利用三角函数求最值、利用完全平方公式求最值等等,这里要谈的是利用导数求最值及其在自然科学、生活实际、工农业生产、经济分析等几个方面

2、的应用。关键词:导数;最值;驻点;最优化;效益中图分类号:O244文献标识码:A文章编号:1672-2086(2008)04-0056-03在生产实践及科学实验中,常常遇到/最好0、值点,则x0也是最大值点,f(x0)为最大值;若x0是/最省0、/最大0、/最小0、/最低0等问题。例如质极小值点,则x0也是最小值点,f(x0)为最小值(驻量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,点与不可导的点称为可以极值点)。投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函»如果由实际问题列出的函数f(x)在闭区间数的最

3、大值或最小值问题。[a,b]上或开区间(a,b)内是可微的,又由实际情况这类问题的一般解题思路是:如果函数f(x)在判断函数f(x)在这区间内部某一点处必取得最大闭区间[a、b]上连续,则它在该闭区间上必存在最值(或最小值),且f(x)在这区间内又只有一个驻大值和最小值,取得最大值和最小值的点分别称作点,则这个驻点一定是所要求的最大点(或最小该函数在此区间上的最大点和最小点。点),相应的函数值即为要求的最大值(或最小值)。求连续函数f(x)在闭区间[a、b]上的最大值和下面举例说明导数在求最值方面的具体应用

4、:最小值,对可微函数来讲,应首先找出f(x)在区间一、求可导函数的最大值和最小值32(a、b)内的一切驻点(即导数为零的点),然后比较例如:求函数f(x)=2x+3x-12x+14在闭区在这些驻点和区间端点处的函数值,最大者即为函间[-3,4]上的最大值和最小值。2数的最大值,最小者即为函数的最小值。(如果有解:f('x)=6x+6x-12=6(x+2)(x-1),不可导的点,这些点处的函数值也要参与比较)。令f('x)=0,解得x1=-2,x2=1。没有导数不在特殊情况下,求最大值和最小值有下面的简存在的

5、点。便方法:由于f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)¹如果函数f(x)在闭区间[a,b]上递增,则f=142。(a)是函数的最小值,f(b)是函数的最大值。如果比较上述四个值可得:函数f(x)在闭区间[a,b]上递减,则f(a)是最大f(x)在区间[-3,4]上的最大值是f(4)=142,值,f(b)是最小值。最小值是f(1)=7。º如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开二、解决生活中的实际问题区间(a,b)内有唯一的可疑极值点x0,若x0是极大例1:将边长为a的正方形铁皮于四

6、角处剪去收稿日期:2008-10-05作者简介:周学勤(1968-),女,河南内黄人,濮阳职业技术学院数学与信息工程系讲师,主要研究方向:高等数学及其在各专业的应用。通讯地址:濮阳职业技术学院数学系邮编:457000Te:l13030330866E-mai:lhnpyzxq@163.com56相同的小正方形,然后折起各边焊成一个容积最大的无盖盒(如下图),问:剪去的小正方形的边长是多少?解:如图,设剪掉的小正方形的边长为x,则盒512的底边长为a-2x,高为x,盒的容积设晒谷场的宽为xm,则长为m,x512

7、因而新石条沿的总长度为l=2x+(x>0)x25122(x-16)由于l='2-2=2,xx因此在(0,+])内函数l只有一个可能的极值点x=16,它也是总长度l的极小值点。所以当晒谷2aV=x(a-2x)(0

8、aa点x=,它也是容积V的极大值点,所以当x=661,当x>100。32a其中x为正整数。又知该厂每生产出一件产品时有最大容积V=。27A可得盈利A元,但每生产出一件次品就要损失元。例2:人在雨中行走,速度不同可能导致淋雨量3有很大不同,即淋雨量是人行走速度的函数。记淋问为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少?雨量为y(单位:s),行走速度为x(单位:m/s),并设解:显然该厂获得最大盈利的日产量是存在的,它们