用导数求函数的最值

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1、函数的最大值与最小值高三数学选修（Ⅱ）第三章导数与微分函数的最大值与最小值OxyY=f(x)abx1x2x3极小值f(x1)极大值f(x2)极小值f(x3)最大值f(b)最小值f(x3)1.函数最值的概念定义：可导函数在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数的最大（或最小）值。一般地，在闭区间上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值。若改为(a,b)?举例说明函数在(0,∞)内连续。2.求可导函数在[a,b]上最值的方法。例1：求函数在区间[-2，2]上的最大值与最小值。解：令有解得：当x变化时，，y的变化情况如下表：x-2(-2,1)-

2、1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2-+0-0+y1345413从上表可看出，最大值是13，最小值是4。2.求可导函数在[a,b]上最值的方法。例1：求函数在区间[-2，2]上的最大值与最小值。图象【解题回顾】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【对应练习】求下列函在所给的区间上的最大值与最小值。（1）y=x-x3x∈[0,2]（2）y=x3+x2-xx∈[-2,1]

3、【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。几何画板例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如下图，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？【解题回顾】1.求最大（小）值应用问题的一般方法：分析、联系、抽象、转化数学方法数学结果实际结果回答问题实际问题建立数学模型（列数学关系式）解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情

4、形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面径应样选取时，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得h=，则S(R)=2πR▪+2πR2=+2πR2令S’(R)=+4πR=0解得，R=从而h====2即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。【反馈练习】1.函数在[-3，4]上的最小值为（）A、-64B、-51C、-56D、-612.

5、函数在上的最大值为（）A、2+2B、4C、D、53．函数在时的最大、最小值分别是。4．教材P139练习1、2(课后完成)。DB【课堂小结】（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值；（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。