用导数研究函数的最值

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1、用导数研究函数的最值分层训练A级基础达标演练（时间：30分钟满分：60分）一、填空题（每小题5分，共30分）1.函数f{x）=x~^x+在［—3,0］上的最大值，最小值分別为・解析F（方=3,—3,令尸（方=0,解得/=—1或x=l,A-3）=-17,f（—1）=3,f⑴=—1,Ao）=1.比较可得/U）max=/（—1）=3,/U）.in=A—3）=—17.答案3,-172.已知曰＞0,函数f{x）=x—ax在［1,+°°）上单调递增，则臼的最大值是•解析因为尸（方=3#—臼，所以山题意可得在［1,+＜-）上有3/—臼20恒成立，所以臼W（3/）m

2、in，『lj（3,）min=3,所以白W3.答案33.函数f（x）=~^x+x在Q10—旳上有最大值，则实数自的取值范围是.解析由尸（力=一/+1,易知/U）在（一8,—1）上递减,在（-1,1）上递增，在（1,+8）上递减.故函数在310—小上存在最大值的条件为IV1,«10-/＞1,解得一2WX1.了1Mfa,答案［一2,1）4.若函数£&）=』一（日＞0）在［1,+s）上的最大值为迪，则日的値为x十日3答案a/3-IV5..设函数㊁一2卄5,若对任意圧［一1,2］,都有fCr）＞妬则实数加的取值范围是-2解析尸(x)=3%—%—2=0,解得x=l

3、或一§,7代1)=刁A2)=7.兀6.函数fa)=g(/(sinx+cos方在区间0,勺■上的值域为.解析F(x)=^er(sinx+cosx)+^eA(cosx~sinx)=excosx,当o时，f(©mo,且只有在龙=十时，r(方=0,U是0,守］上的增函数，・・・fd)的最大值为f3的最小值为A0)・・・f(x)在_o,i上的值域为'11H'2f2eT答案21兀■，2eT二、解答题(每小题15分，共30分)6.设函数f^=-x+2ax-3ax+bf0

4、⑴f{x)=—x+4^—3/.令f(x)=0,解得x=a或x=3$,列表如下:X(―°°,a)a(Z3自)3<7(3$,+°°)f3—0+0——f3递减43.,一沪+力递增b递减由表可知：当圧(一8,曰)时，函数f(x)为减函数；当曲(3日，+8)吋，函数f(x)也为减函数；当才^(03日)时，函数fd)为增函数.4•:当尸日时，f{x)的极小值为一-a+b；当x=i3a时，fx)的极大值为b.⑵圧［0,3日］,列表如下：X0(0,a)a(23曰)3$f3—0+0fx)b递减43.,—护+方递增b由表知：当(0,刃时，函数f(x)为减函数；当xG仙

5、3刃时，两数£(0为增函数.4当心臼时，/V)的最小值为一§/+方；当x=0或x=^a时，f®的最人值为b.8.(2011・莱芜市测试)已知函数f3=嘤gR)・(1)求函数/*(/)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g{x)对任意％满足g(0=H4—X),证明当x>2.时,fx)>g{x)；⑶如果简工应，一ftf(x)=/、(疋)，证明必+曲>4.x—12—x⑴解由tx)=—nfd)=F・ee令尸(力=0,解得X=2,则尸(力,的变化情况如下表:X(—8,2)2(2,+-)f3+0——fx)增极大值丄e减所以f(x)在(一8,2)内是增函数，在

6、(2,+8)内是减函数.函数f(x)在x=2时取得极大值f(2)=丄.(2)证明因为皿)—(40,所以咖-驚X—13—x令F3=/(%)—呂3,即尸3=F——则F2x2x2才一I3r—当x>2时，2—y<0,2x—1>3,从而e'—e"!<0,则函数F(x)>0,F(x)在(2,+°°)上是增函数.所以疋)"(2)三-*0,故当Q2时，心)>咖成立.(3)证明因为代力在2)内是增函数，在⑵+«)内是减函数.孟工応，且/U)=f(Q,所以曲不可能在同一单调区间内，不妨设Xl<2<^2,由⑵可知f(X2)>g(Q,乂g(&)=f(4—X2),所以f(X2)

7、>f(4—X2)，因为f(xd=fix',所以f(xi)>f(4—x2)，因为x2>2,4—%2<2,xi<2,在区间(—°°,2)内为增函数,故却>4—疋，即Xi+X2>4.分层训练B级创新能力提升1.已知曲线fCr)=/+m+O0,b,cER)通过点AO,2a+8),在点0(—1,f(_l))处的切线垂直于y轴，贝丐的最小值为解析由已知曲线f(x)=dx+bx+c(a>0,b9cER)通过点P(0,2a+8)知c=2a+8.乂知其在点0(—1,f(—1))处的切线垂直于y轴，2:.f(—1)=0,B

8、J—2

9、8=盘+么

10、.b2aar4CVa>0,AT=^+_>4,即：的最小值为4.bab答案4(2012•济宁模拟