利用导数求最值.doc

《利用导数求最值.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间[]上连续，在（）内可导，在[]上求最大值与最小值的步骤：先求在（）内的极值；再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤：首先：求导数；再求导数=

2、0的根；最后：检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值；如果左负右正，那么在这个根处取极小值。二、利用导数求最值例1、设，求的最小值。解：设，则令，由，解得。列表：（0，1）1－0＋↘最小值↗由表可知，当时，有最小值1。评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。当函数f（x）为连续函数且在上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值，则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，

3、这里（a，b）也可以是无穷区间。练习1：已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论；三、利用导数求最值的运用（一）求函数的值域例2、求函数的值域．解：由得的定义域为。因为，所以在上单调递增，故当时，时，。所以值域为。评注：求函数的值域转化为求在闭区间上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。练习2：已知x，y为正实数，且满足关系式，求xy的最大值。（二）利用最值求参数的值（或范围）例3、设，函数的最大值为1，最小值为，求a，b的值。解

4、：，当x变化时，变化情况列表如下：x－1（－1，0）0（0，a）a（a，1）1+0－0+b当x=0时，f（x）取极大值b，而，，故需比较f（0）与f（1）的大小。∵，∴f（x）最大值为f（0）=b=1。又。∴，∴，∴。评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a，b的值。（三）利用最值研究恒成立问题例4、设函数若对于任意都有成立，求实数的取值范围。解：令得或。∵当或时，∴在和上为增函数，在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值。极大值为,而,∴在

5、上的最大值为7。若对于任意x都有成立,得m的范围。评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a对x∈R恒成立f(x)的最小值≥a成立；f(x)≤a对x∈R恒成立f(x)的最大值≤a成立。练习2：已知函数在与x＝1时都取得极值。⑴求a、b的值；⑵若对恒成立，求c的取值范围。四、利用最值证明不等式例5、已知是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。（1）求f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意，求证：不等式恒成立。解：（1）∵f(x)是奇函数，，∴f(0)=0,∴d=0因此由条件f(1)=-2为f(

6、x)的极值，∴f,(1)=0，∴，解之得：a=1，c=-3则，令，得∴f(x)的单调减区间是[-1，1]，f(x)的单调增区间是当x=-1时，f(x)有极大值2。（2）证明：由（1）知f(x)在[-1，1]上是减函数，且f(x)在[-1，1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2∴对任意，恒有评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。附练习答案：1、

7、解：（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝（x2－2ax）ex+（2x－2a）ex＝［x2+2（1-a）x-2a］ex。令f′（x）＝0，得［x2+2（1-a）x-2a］ex＝0，从而x2+2（1－a）x－2a＝0。解得，其中x1＜x2。当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：x（－∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0—0+f（x）极大值极小值当f（x）在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值.当a≥0时，x1＜－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2

8、，+∞）为增函数.而当x＜0时，f（x）＝x（x－2a）ex＞0；当x＝0时，f（x）＝0.所以当时，f（x）取得最小值。2、解：由题意，，设f（x）。当时，，令，得或x=0（舍去）。当x在内变化时，y/，y有如下变化情况：x2y/+0－y极大值0由上表可知，当x=时，f（x）最大值为，亦即xy的最大值为。3、解：⑴；⑵令，