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1、第15卷第1期工程数学学报Vol.15No.11998年2月Feb.1998JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSX矩形单幂幺半群的半格的结构曹永林(山东淄博师专数学系,淄博255013)摘要给出了关于矩形单幂幺半群的半格的一个结构定理.关键词单幂幺半群,矩形单幂幺半群,矩形单幂幺半群的半格,结构分类号AMS(1991)06F05,20M10;CCLO152.71引言及结果陈述我们把只含一个幂等元的幺半群叫做单幂幺半群(unipotentmonoid,参见[1]),群、可消幺半群、弱消幺
2、半群都是单幂幺半群的例子;单幂幺半群与矩形带的直积叫做矩形单幂幺半群.PetrichM在文献[2]中给出了纯整群并半群(即矩形群的半格)的一种结构,本文将证明任意矩形单幂幺半群的半格具有与之相似的结构,所得结果为将纯整群并半群理论推广到非正则半群领域奠定了基础.本文未加交代而使用的记号和术语均参见文献[3].定理设Y是半格.对任意A∈Y,设La、Ra和Ma分别是左零带、右零带、和单幂幺半群(其单位元记作1A),且当A≠B时LA∩LB=RA∩RB=MA∩MB=Ï;令SA=LA×MA×RA.如果对任意A,B∈Y,A
3、≥B存在半群同态RA,B:MA→MB和映射〈,〉:SA×LB→LB[,]:RB×SA→RB,使得对任意A,B∈Y及a=(i,g,K)∈SA、b=(j,h,L)∈SB都有(为简便起见,我们用A表示LA或RA中的任意元素,其具体范围由所在式子确定):(i)〈a,A〉=i,[A,a]=K;RA,A=IMA;(ii)若A≥B≥C,则RA,BRB,C=RA,C;在S=∪A∈YSA上用下列方式定义的运算ü有意义aüb=〈(a,〈b,AB〉〉,(gRA,AB)(hRB,AB),[[AB,a],b](1)(iii)若C≤AB,
4、则〈a,〈b,C〉〉=〈aüb,C〉,[[C,a],b]=[C,aüb].X本文1997年4月8日收到.136工程数学学报第15卷那么S关于运算ü构成一个半群,且S是矩形单幂幺半群SA的半格Y.反过来,任何矩形单幂幺半群的半格都与某个用上述方法构造出来的半群同构.推论单幂幺半群的半格一定是单幂幺半群的强半格.关于矩形单幂幺半群的半格这类非正则半群的进一步研究涉及我们的后续工作,在此不拟赘述.2结果的证明定理的证明前半部分:对任意A∈Y,由(i)和(1)式知SA关于运算ü构成矩形单幂幺半群且正是LA、MA和RA的
5、直积半群.对任意A、B、C∈Y及a=(i,g,K)∈SA,b=(j,h,L)∈SB,c=(l,p,T)∈SC,利用(1)式并根据(ii)、(iii)直接计算可得(aüb)üc=(m,q,Q)=aü(büc),其中m=〈a,〈b,〈c,ABC〉〉〉,Q=[[[ABC,a],b],c]q=(gRA,ABC)(hRB,ABC)(pRC,ABC)因此,S关于运算ü构成半群且易知S是矩形单幂幺半群SA的半格Y.后半部分:设S是矩形单幂幺群的半格.不妨设S是矩形单幂幺半群SA=LA×MA×RA的半格Y,其中LA、MA和RA
6、分别是左零带、单幂幺半群和右零带.当然,我们可以假定当A≠B时,LA∩LB=RA∩RB=MA∩MB=Ï.任意取定A,B∈Y,A≥B及a=(i,g,K)∈SA.若b=(j,h,L)∈SB,则存在(j1,h1,L1)∈SB,使得(j,1B,L)a=(j1,h1,L1).由(j1,h1,L1)=((j,1B,L)(j,1B,L))a=(j,1B,L)((j,1B,L)a)=(j,1B,L)(j1,h1,L1)=(j,h1,L1)′可得j1=j;又对任意j∈LB,有′′′(j,1B,L)a=((j,1B,L)(j,1B
7、,L))a=(j,1B,L)((j,1B,L)a)′′=(j,1B,L)(j,h1,L1)=(j,h1,L1)所以h1,L1都与j的取值无关;再由ba=(j,h,L)a=(j,h,L)(j,1B,L)a=(j,h,L)(j,h1,L1)=(j,hh1,L1)可知,L1与h的取值也无关,因此,L1完全由L和a所确定.记L1=[L,a],h1=(L,a)H,则由上面的讨论知存在映射[,]:RB×SA→RBH:RB×SA→MB(L,a)3→[L,a](L,a)3→(L,a)H使得ba=(j,h,L)a=(j,h((L
8、,a)H),[L,a])(b∈SB,B≤A).同理可证,存在映射〈,〉:SA×LB→LBV:SA×LB→MB(a,j)3→〈a,j〉(a,j)3→V(a,j)使得ab=a(j,h,L)=〈(a,j〉,(V(a,j))h,L)(b∈SB,B≤A).对任意j∈LB和L∈RB由(j,V(a,j),L)=(j,1B,L)〈(a,j〉,V(a,j),L)=(j,1B,L)(a(j,1B,L))第
