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《新型高阶Boussinesq水波方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、水利学报2004年10月SHUILIXUEBAO第10期文章编号:055929350(2004)1020083206新型高阶Boussinesq水波方程刘忠波,孙昭晨,张日向(大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室,辽宁大连116024)摘要:从经典的Boussinesq方程出发,引入两个参数并对方程中的部分项进行替换,通过严格的数学推导给出量级2为O(εμ)的高阶非线性项,得到一种新型的高阶Boussinesq方程。该方程的色散关系比经典Boussinesq方程提高了一阶,变浅作用性能也得到了改善,方程的适用范围
2、由浅水达到中等水深。利用Crank2Nicloson格式的有限差分法对方程进行数值模型在一维方向上进行离散计算,建立了高阶Boussinesq方程的数值模型。为验证数值模型的正确性,将数值计算结果与Zou等(2001)的物模试验结果以及Beji与Nadaoka方程的数值结果进行对比,本文的数值结果与试验结果吻合程度较好,表明本文方程可适于模拟变水深下的波浪场数值模拟。关键词:色散性;变浅作用;非线性;数值计算中图分类号:TV13912文献标识码:A[1]传统的Boussinesq方程是由Peregrine推导出来的,
3、其包含了弱非线性及弱色散性,由于其形式比较简单,且在求解方程时,把实际波浪的三维问题简化成了二维问题,降低了模型的求解难度,从而广泛地应用到波浪研究之中。但是由于该方程的弱非线性及弱色散性,限制了该方程进一步在更大的范围内应用。国内外学者为扩展Boussinesq方程的适用范围,提高Boussinesq方程的色散性,进行了大量的[2]研究,Witting(1984)推导了改进色散关系的Boussinesq方程;Madsen等(1992)通过直接在传统的[3]Boussinesq方程中加入一些色散关系项推导了一改进的B
4、oussinesq方程;通过在动量方程中巧妙的加[4]减项,Beji和Nadaoka(1996)提出了一改进的Boussinesq方程(以下简称BN模型);Nwogu(1993)推导了一含任意水深处速度变量的Boussinesq方程;以上所有方程的色散关系都与线性Stokes波的二阶Pade[5]展开一致。邹志利(1997)则推导了含高阶非线性项的Boussinesq方程,该方程的色散关系也等同线性[6][7]Stokes波的二阶Pade展开。其后,邹志利(1999)进一步改善了该方程的色散关系。本文推导了一新型Bo
5、ussinesq方程,为验证其数值模型,模拟了在潜堤上传播的波浪,给出几个空间点的波面升高时间历程;利用快速Fourier变换分析了波幅,计算得到的一次、二次、三次谐波与试验值对比,两者吻合较好;计算表明:本文方程适合模拟变水深的非线性波浪。1方程推导[1]111改进的Boussinesq方程传统的Boussinesq方程由Peregrine推导出来,方程表达形式:Δηt+·[(h+η)…u]=0(1)ΔΔ1ΔΔ12ΔΔ…ut+(…u·)…u+gη=h[·(h…ut)]-h(·…ut)(2)26式中:…u=(u,v)
6、为二维水深平均速度;η为波面升高;h=h(x,y)为静水面以下的水深;g为重力加速Δ度;为二维水平梯度算子。通过基本的加减运算,方程(2)可以写成如下形式:收稿日期:2003212223作者简介:刘忠波(1976-),男,山东临沭人,博士生,从事水波理论研究。—83—ΔΔ1ΔΔ1ΔΔ…ut+(…u·)…u+gη=h(1+α)[·(h…ut)]-αh[·(h…ut)]22(3)12ΔΔ12ΔΔ-h(1+γ)(·…ut)+hγ(·…ut)66这里,α和γ是两个待定参数,加入这两个参数的目的是为了提高方程的色散精度和变浅作
7、用性能。[1][4]Peregrine和Beji等都指出,可以利用长波方程进行变化:ΔΔηt+·(h…u)=0,…ut+gη=0(4)利用式(4)代入方程(2)中(只是部分替换,否则,方程又变回原来的方程)得到ΔΔ1ΔΔ1ΔΔΔ…ut+(…u·)…u+gη=h(1+α)[·(h…ut)]+αgh[·(hη)]2212ΔΔ12ΔΔ2-h(1+γ)(·…ut)-ghγ(η)](5)66当参数α和γ相等时就变成了Beji等的模型。112方程的色散性和变浅作用方程(1)和方程(5)的线性形式和色散关系如下:11222kh1+
8、α-γkhω26=(6)gk1221221+(1+α)kh-(1+γ)kh26与Stokes线性波色散关系的二阶Pada展开式对比233ωkh+khP15=22(7)gk1+2khP5可以得到α和γ的关系式如下:1P2α-γP6=1P15,但两个参数的具体值未知。进一步利用方程的变浅作用系数与线性Stokes波的变浅作用系数对比,可以优化出两个
