圆锥曲线的保角性

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1、圆锥曲线的保角性涡阳第三中学胡维大2013-4-29定理1：已知P为椭圆上异于长轴端点A、B的任意一点，直线PA、PB分别交椭圆的右（左）准线于M、N两点，点F为椭圆的右（左）焦点，则FM与FN互相垂直。证明：设，，，，因P在椭圆上，所以，所以又因为直线PA的方程为：，与准线方程联立可得点M的坐标，直线PB的方程为：，与准线方程联立可得点N的坐标，所以，又因为所以所以FM⊥FN，即∠MFN为直角。类似地可得：定理2：已知P为双曲线上异于顶点A、B的任意一点，直线PA、PB分别交双曲线的右（左）准线于M、N两点，点F为双曲线的右（左）焦点，则FM与FN互相

2、垂直。3证明：设，，，，因P在双曲线上，所以，所以又因为直线PA的方程为：，与准线方程联立可得点M的坐标，直线PB的方程为：，与准线方程联立可得点N的坐标，所以，又因为，所以所以所以FM⊥FN，即∠MFN为直角。对于抛物线相应地有定理3：为了证明定理3，先看如下两个引理：引理1：过抛物线的焦点F任作一条直线，交抛物线与，两点，则引理2：过抛物线的焦点F任作一条直线，交抛物线与A、B两点，直线AO交抛物线的准线与M点，则MB平行于轴。以上两个引理均易证，此处不再赘述。3定理3：过抛物线的焦点F任作一条直线，交抛物线与A、B两点，直线AO、BO分别交抛物线的

3、准线与M、N两点，则FM与FN互相垂直。证明：设，，由引理1可知，由引理2可知，，又因为，所以，所以所以FM⊥FN，即∠MFN为直角。通讯地址：安徽省涡阳县第三中学邮编：233606邮箱：zhggenben@163.com3