闭合三角网格的分割与保角参数化

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1、http://www.paper.edu.cn1闭合三角网格的分割与保角参数化付妍，周秉锋北京大学计算机科学技术研究所，北京(100871)E-mail：fuyan@icst.pku.edu.cn摘要：对闭合三角网格进行切割与参数化是很多应用的基础。本文提出了一种自动将网格切开并参数化到二维平面域的方法。该算法主要通过对模型初始切割线进行逐步优化来得到模型切割线，整个优化过程由一个与参数化扭曲度和合法性相关的成本函数来控制，并针对不同的应用定义了不同的成本函数。为了减小参数化带来的扭曲，本算法不事先确定参数域的边界而是根据切开

2、后的模型的形状自动地确定网格的边界。实验表明，本算法通过优化切割线和参数化域边界有效地降低了扭曲，并保证了参数化结果的合法性。关键词：网格分割；网格参数化；自然边界；中图分类号：TP-3911.引言在很多领域中所使用的模型都是通过三角形表示的流形网格。在诸如纹理映射、交互绘图、网格重建等应用中为了方便处理，通常需要将原始网格转换到平面中。平面参数化通过寻找一个分段线性函数以建立网格顶点与平面中一系列点之间的映射关系。有了三维网格与二维网格之间的一一映射关系，在平面上进行的操作可以被映射回三维网格中，从而减小了网格编辑的复杂性。

3、然而，一个任意的封闭网格模型不能直接被参数化到平面域中，为了进行任意封闭网格的平面参数化，通常需要先需要寻找合适的边集以将模型分割成一个或若干个与圆盘同胚的区域。在参数化的过程中，最理想的参数化要求参数化之后平面网格中的每条边都与原始网格的边等长，即三角形的形状和面积完全不发生改变，然而只有可展开表面(developablesurfaces，如圆柱面和三角锥)能满足这个要求，对于其他的一般网格，参数化势必会引入扭曲[1]。在参数化的研究中，研究者都致力于研究如何尽量减小参数化引入的扭曲。对于一给定面片，扭曲度由参数化方法的性质

4、所决定。对于一个三维网格，为了参数化到平面上，仅仅将它切分成与圆盘同胚的区域是不够的，复杂的面片还需要通过优化切割线来减小网格参数化后的整体扭曲。若网格上的切割线将模型切分成过多的区域，容易导致各个参数域之间的不连续性，在应用中需要进行特殊的处理，并且在映射回三维空间时可能会出现明显的缝合迹象，因此应尽量减小分割后所得面片的个数。此外，参数域边界的选择也对整体扭曲有很大的影响。在很多的平面参数化方法中，都要求参数域的边界事先被固定，较常用的选择是正方形边界、圆形边界或凸多边形边界，在大部分情况下，这些选择都能满足要求。但是选择

5、凸边形和圆的问题在于，当表面S与一个凸多边形或圆的形状并不相似的时候，将产生很大的扭曲。为了避免这种扭曲，研究者提出可以建立一个“虚拟边界”(virtualboundary)[2]，即在边界的周围添加一些三角形从而构成一个具有很好的边界的扩展网格，之后再以凸多边形为边界进行参数化。但更自然的方法是采用自然边界，即在参数化时并不需要事先固定边界点的位置，而且也不要求边界一定为凸的，而是在参数化的过程中产生一个自然的边界，这样产生的边界扭曲相对于固定边界参数化方法产生的扭曲通常会相对更小[1,3,4]。1本课题得到国家自然科学基金

6、（60573149）的资助。-1-http://www.paper.edu.cn因此，在本文中，我们提出了一个任意封闭三角网格的分割与参数化的方法，网格模型被切开后仅形成一个面片以减少多个区域参数化的不连续性和缝合的复杂性，将切割所得的面片保角参数化到具有自由边界的参数域中，以减小参数化带来的扭曲，模型切割线的优化过程通过一个与扭曲度和合法性相关的成本函数来控制，以在此过程中保证模型参数化的合法性。2.相关工作研究者已经提出了很多任意网格的分割方法。Bennis[5]通过不断交互选择模型切割线迭代地将模型中的与切割线相邻的面展

7、平到平面上直到达到指定的扭曲率。Sorkine等人[6]的方法与该方法思想类似，但是定义了新的扭曲度量，而且切割线可以在算法中通过加入模型展平停止条件自动地产生。Maillot等人[7]是根据模型的属性例如法线和曲率等信息将具有相似属性的区域聚集成一块区域从而形成对整个模型的分割，然后再通过最小化所定义的扭曲度量能量将每个区域展平到平面中。这样的方法往往对分割后的面片的拓扑结构没有保证。Eck等人[8]和Lee等人[9]通过网格简化操作来构建模型的基网格（basemesh），基网格中三角形的边映射回原始网格即构成了对整个模型的

8、区域分割，在各个区域，分别采用谐映射(harmonicmap)的方法将原始网格映射到基网格的三角形中。Sander等人[10]采用的方法是先用一个贪心法的面片合并的算法来将模型切分成若干个子面片，初始时每个三角形为一个面片，如果各面片合并带来的成本函数（用平面度和紧凑性来衡量