极限的保号性

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1、2011年赣南师范学院学报№．3第三期JournalofGannanNormalUniversityJune．2011关于极限的保号性与保不等式性的注记*12许绍元，钟争艳(1．赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000;2．兴国县第三中学，江西兴国3424001)摘要:首先阐明了数列极限的保号性与保不等式性的等价性，然后进一步探讨了数列极限的保号性、保不等式性与函数极限的局部保号性、局部保不等式性之间的关系．这些结果是现有高等数学或数学分析教材的有益补充．关键词:极限;函数;保号性;保不等式性中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1004－8332

2、(2011)03－0007－03极限理论是微积分的理论基础，而极限的保号性与保不等式性则是极限理论中重要而常用的两条性质，因此深刻理解这些性质，对学好极限理论起着十分重要的作用．本文首先阐明了数列极限的保号性与保不等式性的等价性，然后进一步探讨了数列极限的保号性、保不等式性与函数极限的局部保号性、局部保不等式性之间的关系，这些结果是现有高等数学或数学分析教材的有益补充．1数列极限的保号性的等价描述命题1以下关于数列极限的性质是等价的:［1］性质1．1(数列极限的保号性)(ⅰ)若liman=a存在且a＞0，则N＞0，n＞N，有an＞0．n→∞(ⅱ)若liman=a存

3、在且a＜0，则N＞0，n＞N时，有an＜0．n→∞［2］''性质1．2(数列极限的保号性)(Ⅰ)若liman=a＞a＞0，则N＞0，n＞N，有an＞a．n→∞''(Ⅱ)若liman=a＜a＜0，则N＞0，n＞N时，有an＜a．n→∞a证(Ⅰ)(ⅰ):设(Ⅰ)成立．若liman=a＞0，则liman=a＞＞0，由(Ⅰ)，N＞0，n＞N时，n→∞n→∞2a有an＞＞0，即(ⅰ)成立．2''''(ⅰ)(Ⅰ):设(ⅰ)成立．若liman=a＞a＞0，令bn=an－a，则limbn=liman－a=a－a＞0．n→∞n→∞n→∞'由(ⅰ)则N＞0，n＞N

4、时，有bn＞0，即an＞a，从而(Ⅰ)成立．(Ⅱ)(ⅱ):可类似证明．证毕．2数列极限的保不等式性的等价描述命题2以下关于数列极限的性质是等价的:［1］性质2．1(ⅰ)若N＞0，n＞N时，有an0，且liman=a存在，则liman=a0．n→∞n→∞(ⅱ)若N＞0，n＞N时，有an0，且liman=a存在，则liman=a0．n→∞n→∞*收稿日期:2011－02－22基金项目:江西省教育厅科技研究项目(GJJ08388)作者简介:许绍元(1964－)，男，湖北武汉人，赣南师范学院数学与计算机科学学院教授、博士后，主要从事非线性泛函分析与分形几何的

5、研究．8赣南师范学院学报2011年［2］性质2．2(数列极限的保不等式性)设{an}{bn}均为收敛数列，若存在正数N0，使得当n＞N0时，有anbn，则limanlimbn．n→∞n→∞证性质2．1性质2．2:设{an}{bn}均为收敛数列，且存在正数N0，使得当时n＞N0，有anbn．令cn=bn－an，则当n＞N0时，有cn0，由性质2．1，limcn＞0，故limanlimbn．于是性质2．2为真．n→∞n→∞n→∞性质2．2性质2．1:在性质2．2中取bn=0即得性质2．1．证毕．3数列极限的保号性与保不等式性的等价性命题3以下关于数列极限的性

6、质是等价的:［1］性质1．1(数列极限的保号性)(ⅰ)若liman=a存在且a＞0，则N＞0，n＞N，有an＞0．n→∞(ⅱ)若liman=a存在且a＜0，则N＞0，n＞N时，有an＜0．n→∞［2］性质2．1(Ⅰ)若N＞0，n＞N时，有an0，且liman=a存在，则liman=a0．n→∞n→∞(Ⅱ)若N＞0，n＞N时，有an0，且liman=a存在，则liman=a0．n→∞n→∞证性质1．1性质2．1:见文献［1］．性质2．1性质1．1:不妨设liman=a存在且a＞0．反证法．若对任意整数k＞0，nk＞k，有ank0，n→∞则

7、由性质2．1有limank=a0，此与题设矛盾．故性质1．1成立．于是性质1．1与性质2．1等价．k→∞4函数极限的局部保号性的等价描述类似于数列极限，我们有如下关于函数极限的结果．命题4以下关于函数极限的性质是等价的:［1］性质4．1(函数极限的局部保号性)设极限limf(x)=A存在．若limf(x)=A＞0(或A＜0)，则x→x0x→x0δ＞0使得当0＜

8、x－x0

9、＜δ时，有f(x)＞0(或f(x)＜0)．［1］11性质4．2设极限limf(x)存在．若δ=＞0(n为正整数)，存在xn使得0＜

10、xn－x0

11、＜，有x→x0nnf(xn)0