圆锥曲线中的典型问题与方法:圆锥曲线中的探究性(存在性)问题

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1、.圆锥曲线中的探究性(存在性)问题(一)存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件和结论不完备,要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括,它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求,特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题,也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例1.在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不

2、存在,请说明理由.解:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,代入椭圆方程得.整理得  ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或.即的取值范围为.(Ⅱ)设,则,由方程①,.   ②又.    ③而.所以与共线等价于,将②③代入上式,解得...由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.练习1:(08陕西卷20).(本小题满分12分)已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.xAy112MNBO解法一:(Ⅰ)如图,设,,把代

3、入得,由韦达定理得,,,点的坐标为.设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得,直线与抛物线相切,,.即.(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,.由(Ⅰ)知.轴,.又...,解得.即存在,使.解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得.由韦达定理得.,点的坐标为.,,抛物线在点处的切线的斜率为,.(Ⅱ)假设存在实数,使.由(Ⅰ)知,则,,,解得...即存在,使.练习2.直线与曲线相交于P、Q两点。(1)当a为何值时,;(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。解:(1)联立方程,,

4、即,设P、Q两点的坐标为,所以,化简得即为所求。(3)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O,二、是否存在这样的点例2.(2009全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线与相交于、两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为(I)求,的值;(II)上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与的方程;若不存在,说明理由。..解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,

5、借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。解:(Ⅰ)设当的斜率为1时,其方程为到的距离为,故,,由,得,=(Ⅱ)C上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立。由(Ⅰ)知椭圆C的方程为+=6.设(ⅰ) 假设上存在点P,且有成立,则,,整理得故①将②于是,=,,代入①解得,,此时于是=,即因此,当时,,;当时,,。(ⅱ)当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立。..综上,C上存在点使成立,此时的方程为.例3.(2009福建卷)(本小题满分14分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,

6、直线与直线分别交于两点。(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而由得0设则得,从而即又,由得故..又,当且仅当,即时等号成立时,线段的长度取最小值(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,此时的方程为要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线,则由解得

7、或练习:1.(2008湖北卷20题).(本小题满分12分)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解:由条件知,,设,.解法一:(I)设,则,,,由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时,,即...又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得,即.将代入上式,化简得.当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.(II)假设在轴上存在定点,使为常数.当不与轴垂直

8、时,设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根,所以,,于是.因为是与无关的常数,所以,即,此时=.当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,此时.故在轴上存在定点,使为常数.练习2.(08山东卷22)(本小题满分14分)如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一

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