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《圆锥曲线中的典型问题与方法：直线与圆锥曲线位置关系的综合性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、直线与圆锥曲线位置关系一、知识点与方法步骤直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从儿何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线來说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系.解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的
2、斜率存；（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程；（4）一元二次方程的判别式；（5）韦达定理，同类坐标变换；（6）同点纵横坐标变换；（7）x,y,k（斜率）的取值范围；（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、屮点坐标公式：兀=、+Z,y=、+，，其屮兀y是点A（X],yJ,B（x2,y2）的屮点坐标.2、弦长公式：若点A（X],）‘[）,B（x2,y2）在直线y=总+/?伙HO）上，则y}=kx}+b,y2=kx2+b,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，=J(1+&2)
3、[(X
4、+吃)2―力逅]或者
5、人创=J（X
6、—兀2尸+（刃一力尸=->?2)二、常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1已知直线l:y=kx+l与椭圆C:—+^-=1始终有交点，求加的取值范围4m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0,1）,椭圆的特点是过定点（-2,0）和（2,0）,和动点（0,±Vm）,且加主4.22解：根据直线l:y=la^l的方程可知，直线恒过定点（0,1）,椭圆C:—+^-=1过动点4m22（0,±Vm）,且加丰4,如果直线/:y=Ax+1和椭圆C:—+—=1始终有交点，则4m
7、>1,冃丿兀丰4,4m即1过定点（0,1）=£（%+1）=>过定点（一1,0）/:歹一2=心+1)=>过定点(-1,2)证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论.练习：1、过点P（3,2）和抛物线），=/一3%一2只有一个公共点的直线有（）条.A.4B.3C.2D.1分析：作出抛物线y=扌一3兀一2,判断点p（3,2）相对抛物线的位置.解：抛物线y=x2-3x-2如图，点P（3,2）在抛物线的内部，根据过抛物线
8、内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P（3,2）和抛物线y=x2-3%-2只有一个公共点的直线有一条.故选D【规律提示】含焦点的区域为圆锥曲线的内部.一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线;（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线;（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物
9、线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点.二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线;（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线：（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公
10、共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称小心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在.题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（屮点坐标公式）.例题2过点T（-1,O）作直线Z与曲线N:y—x交于a、B两点，在x轴上是否存在一点E（x°,O）,使得AABE是等边三角形，若存在，求出心；若不存在，请说明理由.分析：过点T（-1,O）的直线和曲线N:/=%相
11、交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得;11e点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的<3倍.运2用弦长公式求弦长.解：依题意知，直
