直线与圆锥曲线的位置关系

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1、直线与圆锥曲线的位置关系【考试大纲要求】1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题.3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.4．会用弦长公式

2、AB

3、=

4、x2－x1

5、求弦的长；5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等．【高考命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系

6、在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等．预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．【基础知识归纳】1．点与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系（如表1）．2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与

7、圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)相交；(2)相切；(3)相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、

8、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．27曲线条件结论椭圆点在曲线上点在曲线外点在曲线内双曲线点在曲线上点在曲线外点在曲线内抛物线点在曲线上点在曲线外点在曲线内（表1）3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac.则弦长公式为：d====.27焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）.【典型例题解析】题型1：向

9、量与点的轨迹问题【例1】（06·江苏）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（　　）　　　　A．　　　B．C．　　　D．【答案】B.【解析】设，，，,则,由，则，化简整理得题型2：直线与圆锥曲线相结合问题【例2】（06·辽宁）直线与曲线且的公共点的个数为　　（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】将代入，，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个．【例３】（06·四川）直线与抛物线交于两点，过27两点向抛物线的准线作

10、垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（）A．56B．64C．48D．72【答案】C【解析】直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴

11、AP

12、=10，

13、BQ

14、=2，

15、PQ

16、=8，梯形的面积为48，选Ｃ.【例4】（07·全国）若直线与圆有公共点，则　　（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将联立消y得,由题型3：圆锥曲线中的最值问题【例5】（06·全国）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值.【解析】依题意可设P(0,1),Q(x,y),则

17、

18、PQ

19、=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1－y2),

20、PQ

21、2=a2(1－y2)+y2－2y+127=(1－a2)y2－2y+1+a2=(1－a2)(y－)2－+1+a2.因为

22、y

23、≤1,a>1,若a≥,则

24、

25、≤1.题型4：变量取值范围问题【例6】（07年·江苏）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(Ⅰ)求双曲线C2的方程；(Ⅱ)若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原

26、点)，求k的取值范围.【解析】（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则再由故C2的方程为（II）将代入得：，由l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①将代入，得.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点27②设则由而于是即解此不等式得或③由①、②、③得或故k的取值范围为题型5：定值问题【例7】（07·山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），