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时间:2018-07-20
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1、直线与圆锥直线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为:设直线,圆锥曲线,由,即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,消去便得到关于的一元二次方程(当然,也可以消去得到关于的一元二次方程),通过一元二次方程解的情况判断关系,见下表: 注意:(1)直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不
2、是充分条件;(2)由于抛物线及双曲线问题的特殊性,有时借助于数形结合可能会更直观、更方便,我们知道:当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时,都只有一个交点,但此时并非相切.2.应用例1若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点,求的取值范围.解法一:考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求.解:由椭圆方程及椭圆的焦点在轴上,知.由得.又直线与椭圆总有公共点,上述方程对一切实数成立,即,亦即对一切实数成立.,即.故的取值范围为.解法二:由于直线过定点,而直线与椭圆总有公共点,所以定点必在椭圆内部或
3、边界上,由点与椭圆的位置关系的充要条件易求. 另解:由椭圆的方程及椭圆的焦点在轴上知. 又直线与椭圆总有公共点. 直线所经过的定点必在椭圆内部或边界上. ,即. 故的取值范围为. 评析:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大;解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷.例2已知直线与曲线恰有一个公共点,求实数的值.解:联立方程(1)当时,此方程组恰有一解为(2)当时,消去,整理得.若,则方程组恰有一解为若,令,可解得.所以,当时,原直线与曲线恰有一个公共点.评析:上面三
4、个解的几何意义是:当时,曲线蜕化成直线,此时已知直线为,它恰有一个交点;当时,直线与抛物线对称轴平行,恰有一个交点;当时,直线与抛物线相切.
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