直线与圆锥曲线的位置关系典型例题.doc

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1、1、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等

2、式求范围。例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。分析：法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为，（a>0，b>0）解之得：∴双曲线方程为（2）设双曲线方程为（a>0，b>0）则解之得：∴双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）∴∴∴双曲线方程为（1）设双曲线方程为∴解之得：k=4∴双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双

3、曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且

4、PF1

5、>

6、PF2

7、，求的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当∠PF2F1=900时，由得：，∴当∠F1PF2=900时，同理求得

8、PF1

9、=4，

10、PF2

11、=2∴法二：当∠PF2F1=900，∴∴P（）又F2（，0）∴

12、PF2

13、=∴

14、PF1

15、=2a-

16、PF2

17、=当∠F

18、1PF2=900，由得：P（）。下略。评注：由

19、PF1

20、>

21、PF2

22、的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手∵

23、

24、PM

25、-

26、PN

27、

28、=2m∴点P轨迹为双曲线，方程为（

29、m

30、<1）①又y=±2x（x≠0）②①②联立得：将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m的取值范围。根据双曲线有界性：

31、x

32、>m，x2>m2∴又00∴且m≠0∴评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函

33、数思想，建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；当l斜率存在时，设l：y=kx+bl与⊙O相切，设切点为M，则

34、OM

35、=1∴∴b2=k2+1①由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），∴y0=kx0+b=∵M在⊙O上∴

36、x02+y02=1∴(1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2②由①②得：或∴l：或法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；当y0≠0时，代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0∵y02+x02=1∴可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：∴即2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=±1(舍)，x0=∴y0=。下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高

37、阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例5、A、B是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB，（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB过定点；（3）求弦AB中点P的轨迹方程；（4）求△AOB面积的最小值；（5）O在AB上的射影M轨迹方程。分析：设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）（1）∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1