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《直线与椭圆的位置关系典型例题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C：刍+・=l（Q>b>0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线1tr的倾斜角为60；AF=2FB.（1）求椭圆C的离心率;（2）如果
2、AB
3、=—，求椭圆C的方程.4设人（兀］』）』（兀2』2）/由题意知牙<0,），2>0・（I）直线1的方程为y=>/3(x—c),其中c=/a2—b1.y：2a/3(x-c),x-v2得(3/+b2)y2+2y[3b2cy-3b4=o—+2_=iIdb解得X="心十2°)/-阳c-2a)3/+/T因为AF=2FB,所以—X=2)(HII®2
4、(c+2g)c一羽b2(c-2小即T-3/+/?2c2得离心率e=—=—a3（II）因为嗣25'所以拧3/+厂4由沽
5、得"會所吟呼得口,b=^5.12分椭毗的方程为++*“2、在平面宜角坐标系xoy屮，如图，已知椭圆—+^=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点95T（/，加）的宜线TA、TB与椭圆分别交于点M（nx）、NgyJ,其屮m>0,”>0,旳v°。（1）设动点P满足PP2-PB2=4f求点P的轨迹;（2）设召=2內冷，求点T的坐标；（3）设f=求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与in无关）.解：(D设点P(X,y)
6、,贝牡F(2,0)、B(3,0〉、A(-3,0)由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,化简得x=^.故所求点P的轨迹为直线X=l2M(曰寸SJ215-3TM戋直X/‘弋33卅++H2號_9=一一，JN2y2<°^直线NTB方程为:一-0-0_錯r3713联立方程组，解得：（y所以点T的坐标为亿爭）33一一，=13710t0"_一_一一_5-2_5.6（3）点T的坐标为（9,m）直线mta方程为：=春:孑>即y=強（工+3）,直线NTB方程为：些吕=訂
7、,即妙=晋（夂一3）・分别与椭圆聲+茫1联立方程组
8、，同时考虑到x/-3,x2H3,鯉得・hA（3（80_巴叫丄Om、z（3"2一？°）］20m辭1寸・80+m2乜0+m2丿叫20+加一20+加丿・3（m2・20）2O+m210m若则m^2V10,直线MD的斜率*MD=卅雷：-—40一m2,80+m2—1直线MN方程为：器、+盘$—3（8。-尬2）3（m2-jQ）*°+加20+加80+^2—2。+尬2令y二o,解得:x=i.此时必过点d（1,0）；当^之2时，直线MN方程为：x=1,与琲由交点为D（1,0）.所以直线MN必过养由上的一定点D（1,0）.（方法二）若则由黠靜=黠謬及m＞0
9、,得加=2如，此时直线MN的方程为xh,过点D（1,0）.-20m直线ND的斜率丁二赛知，得kMD=kND,所以直线MN过D点.2O+m2因此，直线MN必过炸由上的点（1,0）.223、设椭圆C:刍+=1（Q＞方＞0）过点M（血,1）,仇着焦点为人（一血,0）a-b~（I）求椭圆C的方程；（II）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交与两不同点4,B时，在线段AB上取点Q,西二羯寸西卜证明：点Q总在某定直线上.满足fc2=2解:(I)由題意暮，
10、C?二a?_匕2解得是4,b2=2,所以椭圆C的方程为琴+^=1・42(II)设点Q、
11、A、B的坐标分别为(x,y),(Xpyp,(x2,y2).由题设知阿阴网
12、词均不为零，记入二胃二备，则入＞0且入右又A,P,B,Q四点共线，从而AP^-KPB,AQ=KQB干早—".入X2q一力W2八"*2『1W2丁疋-1-A■1-A-1+入八x?■入y2-^2y2从而一2丄二心①,],2二丫②,又点A、B在椭圆C上，即x/+2y&4③，x22+2y22=4④，①+②煜并结合③、④得4x+2y=4；即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0±.4、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在兀轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的玄线交椭圆于A、B两
13、OA+OB与方=(3,—1)共线.(I)求椭圆的离心率;(II)设M为椭圆上任意一点，S.OM=AOA+jL1OB(入“wR),证明才+/?为定值.故离心率e尊・a3(II)证明：由(1〉知聲二3R,22所以椭圆^2*72=Ka>b>0),F(c,0)可化为x2+3y2=3b2.azb厶设M(x,y),由已知得(x,y)=A(Xpy»+p(x2,y2),X二入X1+PX2iy=Ayi+py2VVM(x,y)在椭圆上，.•-(AXi+px/2+3(入治+妙2〉2=3t)2-即入2(x/tyj)4-p2(X22+3y22)+2Ap(x1
14、x2+3y1y2)=3b2.15、c2,Z?2=J-c2.3ca2c2-a2t>23oX1^X2=-X1X2=a2^2=-c^qq•"2+3用2之利2+3(X[~c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x
