基于矩阵初等变换的矩阵分解法

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1、第20卷第4期数学理论与应用Vol.20No.42000年10月MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSOct.2000X基于矩阵初等变换的矩阵分解法吴　强(国防科技大学工程兵学院　长沙417002)摘　要　本文根据矩阵的初等变换,提出一种简便的分解矩阵的方法.关键词矩阵　初等变换　矩阵分解1　矩阵的初等变换设A=(aij)m×n为非零实矩阵,R(A)=r,则至少存在—r阶子式不为零,根据拉普拉斯定理,高于r+1阶的子式显然也都是零,进一步假设A的非零r阶子式位于A的左上角,我们用初等变换对其进行化简:不失一般性,设a11≠0,从第二行开始直到

2、第n行,减去第一行的适当倍数,有:a11a12⋯a1na11a12⋯a1na12a1n0a22-a21⋯a2n-a21a21a11⋯a2na11a11A=]⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amna12a1n0am2-am1⋯amn-am1a11a11a11a12⋯a1n0=D1=(1)⋯D10(1)(1)其中:D1=(aij)(m-1)×(n-1)(1)a1jaij=aij-ai1(i=2,3,⋯,m;j=2,3,⋯,n)a11(1)(1)(1)若D≠0,同理,设a22≠0,进一步变换D:(1)(1)(1)a22a23⋯a2n(1)(1)(1)a23(1)(1)a2n(1)0

3、a33-(1)a32⋯a3n-(1)a32(1)a22a22D=⋯⋯⋯(1)(1)(1)a23(1)(1)a2n0am3-(1)am2⋯amn-(1)a22am2X收稿日期:1999年8月106数学理论与应用第20卷a11a12a13⋯a1n(1)(1)(1)0a22a23⋯a2n令:D2=00(2)⋯⋯D200(2)(2)其中:D2=(aij)(m-2)×(n-2)(1)(2)(1)a2j(1)aij=aij-(2)ai2(i=3,4,⋯,m;j=3,4,⋯,n)a22以此类推,将该过程进行r步,可得到:a11a12a13⋯a1r⋯a1n(1)(1)(1)(1)0a2

4、2a23⋯a2r⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯A→Dr=(r-1)(r-1)000arr⋯arn000⋯0⋯0000⋯0⋯02　基于秩因子的矩阵分解仍设a11≠0,由上述变化过程,令:00⋯0a11a11a11a12⋯a11a1n00⋯01a21a11a21a12⋯a21a1nA1=0=A-a11⋯⋯⋯(1)⋯Dam1a11am1a12⋯am1a1n0a111a21=A-(a11a12　⋯　a1n)a11⋯am1a11a111a21a12令:x1=y1=a11⋯⋯am1a1nT则有:A1=A-x1y1T(1)若R(A)=r=1,则A1=0,故有:A=x1y1.此即为A的秩因子分解.

5、(1)(2)若R(A)=r=2,应有A1≠0,设a22≠0,继续上述过程:0(1)1a22(1)A2=A1-(1)(0a22　⋯　a2n)a22⋯(1)am2第4期吴　强:基于矩阵初等变换的矩阵分解法107则有A2=0,令:00(1)(1)1a22a22x2=(1)y2=a22。⋯⋯(1)(1)am2a2nTTA=x1y1+x2y2此即为A的秩因子分解.(3)若R(A)=r(r>2),如此继续下去,最后应有Ar=0.故得A的秩因子分解为:Ty1Ty2TTTA=x1y1+x2y2+⋯+xryr=(x1x2　⋯　xr)=XY⋯TyrT上式中:X=(x1x2　⋯　xr),Y=

6、y1y2　⋯　yr).且由上述计算过程可知:R(X)=r,R(Y)=r.3　数值实例设秩为4的矩阵A为:10110211-111-1-100-10101用本文介绍的方法进行分解,可知:100010110210001-1-31A=1-11000-3-41-101100550易知右边两个矩阵的秩均为4.参考文献[1]武汉大学数学系.人民教育出版社,1977,P48～199.TheDecompositionMethodtoElementaryTransformationofMatrixWuQiang(MilitaryEngineerInstitute,NUDT,Changsh

7、a,410072)AbstractInthepaper,theanthordiscussestheelementarytransformationofmatrixandgivethedecompositionmethod.Keywordsmatrix,elementarytransformation,decomposition