矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

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1、1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法本节内容1.线性方程组的同解变换；2.矩阵的初等变换；3.初等矩阵；4.用初等行变换求逆矩阵.线性方程组的同解变换同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解。初等变换就是线性方程组的同解变换。定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。（证明看课本第9页）矩阵的初等变换定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：1.对换矩阵的两行（或两列）；记为2.以任意数乘以矩阵的某一行（或列）每个元；记为3.某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去.记为矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A

2、→B。习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。消元法解线性方程组消元法的基本思想是：反复利用同解变换将方程组化为阶梯形状。在消元法求解过程中，只涉及到对方程组的系数与常数的运算。因此只考虑对方程组的系数与常数组成的矩阵进行变换即可。相应的，对矩阵进行类似的变换叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程。例：解线性方程组先将方程组的系数与等式右边的常数组成一个3×4的矩阵，然后对矩阵进行初等行变换。变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组

3、的同解方程组。或注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程组的同解变换。初等矩阵定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有三种类型。（1）对调I的两行（或两列）；（2）非零数乘以I中的某行（或某列）；（3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。初等矩阵都是可逆的，并且根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。初等矩阵的性质※定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆.※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行

4、变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积※定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆.※定理1.4可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵.※定理1.5方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。证明1.3，1.4，1.5用初等行变换求逆矩阵原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，设则上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆矩阵。做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对

5、大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，原来的I部分就成为A的逆。例题设，求解：小结本节要求掌握内容1.矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号；2.初等矩阵的性质；3.用初等行变换求逆矩阵.作业P341.7（2）（5）1.10初等变换线性方程组的初等变换有三种：1.互换两个方程的位置；2.把某个方程两边同乘以一个非零常数；3.将某个方程加上另一个方程的k倍.初等变换是可逆的，即用同类型的变换可将新方程组变为原方程组。注意：变换过程中方程组中方程的个数不变。返回互换两个方程的位置返回方程两边同乘以一个非零常数c返回一个方程加上另一个方程的k倍返回对调I中的两行（或两列）对调

6、I的两行对调I的两列返回非零数乘以I中的某行（或某列）非零数乘以I的行非零数乘以I的列返回某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）返回初等矩阵左乘相当于行变换初等矩阵右乘相当于列变换返回矩阵的初等变换定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：1.对换矩阵的两行（或两列）；记为2.以任意数乘以矩阵的某一行（或列）每个元；记为3.某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去.记为矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。返回初等矩阵的性质※定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆.※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该

7、矩阵进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积※定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆.※定理1.4可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵.※定理1.5方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。返回例题设，求解：返回