2_5初等变换与逆矩阵的初等变换求法.ppt

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1、一、初等变换二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性下页第5节初等变换与逆矩阵的初等变换求法5.1初等变换交换第i行与第j行记为rirj.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页-113-1交换第i列与第j列记为cicj.15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711

2、113例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i行记为kri.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i列记为kci.15-1-11-2131-93738

3、-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i行的k倍加到第j行记为rj+kri.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行

4、(列)上.第i列的k倍加到第j列记为cj+kci.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).=E(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=000110000

5、0100100r2r4———=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下页5.2初等矩阵=E(3(4))1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))1000010000100001E=00401000100000014c3———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：=Er(2,4(k))1000010000

6、100001E=010k100000100001r2+kr4———=Ec(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式要

7、么为1,要么为-1,要么为k(k≠0).其逆阵分别为:下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.E(1,2)A==与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==例如，设下页=与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.=例如，设E(1,3(2))A=AE(1,3(2))=下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相