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时间：2018-11-25
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1、§2.6用初等变换求逆矩阵一.用初等变换法求逆矩阵及解矩阵方程一、等价定理定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：（1）A是可逆的；（2）A~E，E是n阶单位矩阵；（3）存在n阶初等矩阵（4）A可经过有限次初等变换化为E.证明1（1）→（2）易证明(见书上证明)（2）→（3）因为A~E，再由矩阵那么，把E变为A的初等变换,即有：等价的对称性，有E~A。所对应的初等矩阵为，所以（3）→（4），由有由于仍是初等矩阵，上式说明对A实施有限次初等行变换可化为E，列的情形类似可得。（4）→（1）设A可经有限次初等行变换可化为E，则存在初等矩阵，使由于初等矩阵可逆，所以A可逆。证毕。分析:A可逆
2、上式表明:若,则A可逆,且X即为AX=B的解X=A–1B.特别,若即如何求X=A–1B?给定n阶可逆方阵A及n×s阶矩阵B,如何解AX=B?左侧的意义：对A、B作相同的行变换即有例1：设，试用初等变换法求解：所以例2.设问B是否可逆？解法1.若可逆，求其逆阵B–1。可见B不可逆不可能化为单位阵B不可逆一、二两行相同！解法2.利用“A可逆A”例3.求解解:原方程变形为可见A–E可逆,且注:若要求思考:设A,B可逆,如何解矩阵方程AXB=C?方法一：注意：这个r2是新的结果方法二：内容小结1.矩阵的初等变换与初等矩阵2.用初等变换法求矩阵的逆:作业P64.25(1),（2）注意
3、:初等矩阵可逆,其逆矩阵为同类型初等矩阵用初等矩阵右乘A↔对A作列变换3.用初等变换法求AX=B的解X=A–1B:4.与任意矩阵A等价的三种简单矩阵解YA=C转化为解用初等矩阵左乘A↔对A作行变换
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